Đề khảo sát tuyển sinh vào 10 môn Toán năm 2026 THCS Lý Tự Trọng (Quảng Ninh) có đáp án

$$A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$

$$A=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1+2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\left(\sqrt{x}+1\right)=\frac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\left(\sqrt{x}+1\right)$$

$$A=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\left(\sqrt{x}+1\right)=2$$

Rút $y$ từ phương trình (1) ta có $$y=1-2x$$(3).

Thế (3) vào (2) được $3x-2\left(1-2x\right)=5$$\Rightarrow x=1$.

Thay $x=1$ vào (3) được $y=-1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(1;-1\right).$

Nhân hai vế của bất phương trình với 6, ta được: $2\left(1-x\right)-3\left(2x+3\right)\ge 6$

Giải tìm được: $x\le \frac{-13}{8}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x\le \frac{-13}{8}$.

Theo định lí Viète, ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=7\\ x_1.x_2=1\end{array}$

Suy ra $x_1>0;x_2>0$

Vì$x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_1^2-7x_1+1=0\\ x_2^2-7x_2+1=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1^2-6x_1+2=x_1+1\\ x_2^2-6x_2+2=x_2+1\end{array}$

Theo bài ra ta có:

$$\begin{array}{l}A=\frac{1}{\sqrt{x_1^2-6x_1+2}}+\frac{1}{\sqrt{x_2^2-6x_2+2}}\\ =\frac{1}{\sqrt{x_1+1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2+1}}\\ =\frac{\sqrt{x_2+1}+\sqrt{x_1+1}}{\sqrt{x_1+1}\sqrt{x_2+1}}\\ =\frac{\sqrt{{(\sqrt{x_2+1}+\sqrt{x_1+1})}^2}}{\sqrt{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}}\\ =\frac{\sqrt{x_2+1+x_1+1+2\sqrt{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}}}{\sqrt{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}}\\ =\frac{\sqrt{7+2+2\sqrt{1+7+1}}}{\sqrt{1+7+1}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\end{array}$$

Gọi số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc) ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là $\frac{1200}{x}$ (ngày)

5 ngày đầu, xưởng may được số áo là $5x$(chiếc)

Những ngày sau, mỗi ngày xưởng may được số áo là $x+10$ (chiếc)

Số áo cần phải may trong những ngày còn lại là $1200-5x$(chiếc)

Thời gian hoàn thành số áo còn lại sau 5 ngày là $\frac{1200-5x}{x+10}$(ngày)

Vì hoàn thành xong trước 5 ngày nên ta có phương trình: $\frac{1200}{x}-\left(5+\frac{1200-5x}{x+10}\right)=5$

Giải tìm được $x_1=40$(TMĐK); $x_2=-60$ (loại)

Vậy số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là 40 chiếc.

a) Vì $\widehat{BEC}$ và $\widehat{BDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $$\left(O\right)$$ nên $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^{\circ }.$

Suy ra $BD\perp AC;CE\perp AB$.

Vì $$\Delta AEH$$vuông tại $$E$$ nên $$\Delta AEH$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AH$$

Vì $$\Delta ADH$$ vuông tại $$D$$ nên $$\Delta ADH$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AH$$

Suy ra: tứ giác $$ADHE$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AH$$

b) Chứng minh: $$H$$ là trực tâm của $\Delta ABC$ suy ra $AF\perp BC$

Chứng minh: (g.g) (1)

Chứng minh: (g.g) (2)

Từ (1), (2) suy ra nên $\frac{AH}{BC}=\frac{AD}{BD}$ suy ra $AH\cdot BD=AD\cdot BC$.

c) Chứng minh tứ giác $$A,M,F,O,N$$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$AO.$$

Ta chứng minh được $\widehat{AMN}=\widehat{AFM}$ (3)

Chỉ ra suy ra $A{M}^2=AE\cdot AB$

Chỉ ra suy ra $AH\cdot AF=AE\cdot AB$

Do đó $A{M}^2=AH\cdot AF$

Suy ra hay $\widehat{AFM}=\widehat{AMH}$ (4)

Từ (3), (4) suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{AMH}$

Vậy $$M,H,N$$ thẳng hàng.

Gọi $$r,h(\mathrm{m})$$ lần lượt là bán kính của nửa đường tròn và chiều dài hình chữ nhật $$\left(0<r;h<12\right)$$

Ta có $\pi r+2h+4\pi =20$

$h=\frac{20-\pi r-4\pi }{2}=10-2\pi -\frac{\pi r}{2}$

$S=2rh+\frac{\pi r^2}{2}=2r\left(10-2\pi -\frac{\pi r}{2}\right)+\frac{\pi r^2}{2}=20r-\frac{8+\pi }{2}{r}^2$

Đặt $a^2=\frac{8+\pi }{2}$.

Ta có: $S={\left(\mathrm{ar}-\frac{10}{a}\right)}^2+\frac{100}{a^2}\le \frac{100}{a^2}=\frac{200}{8+\pi }\approx 17,95$

Dấu “=” xảy ra khi $$ar=\frac{10}{a}$$ suy ra $$r=\frac{10}{a^2}=\frac{20}{8+\pi }\approx 1,8$$.

Khi đó $h=3,574$

Vậy cần uốn khung có chiều dài hcn là $$3,574\mathrm{m},$$ bán kính đường tròn là $$1,8\mathrm{m}$$ thì diện tích khung làm lớn nhất.