Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 19

+ Tần số ghép nhóm của nhóm $$\left[40;50\right)$$ là $$3$$.

+ Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $$\left[40;50\right)$$ là: $$\frac{3}{60}.100\%=5\%$$

+ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử “Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp”  là:              $$\left\{1;2;3;...;12\right\}$$ ; có $$12$$ kết quả

+ Các kết quả thuận lợi cho biến cố $$M$$: “thẻ được rút ra ghi số chia hết cho $$3$$” là: $$\left\{3;6;9;12\right\}$$

+ Xác suất của biến cố $$M$$là:  $$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

 1) Thay $$x=9$$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $$B$$ ta có:

$$B=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-2}=\frac{3+2}{1}=5$$

Vậy giá trị của $$B$$ tại $$x=9$$ là $$5$$.

2) $$A=\frac{3}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+10}{x-4}$$

$$A=\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}+10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$

$$A=\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)-\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$

$$A=\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$

$$A=\frac{2}{\sqrt{x}+2}$$

3) $$P=A.B=\frac{2}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=\frac{2}{\sqrt{x}-2}$$

$$P\le -1\iff \frac{2}{\sqrt{x}-2}\le -1\iff \frac{2}{\sqrt{x}-2}+1\le 0\iff \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\le 0$$

* Nếu $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=0$$ thì $$\sqrt{x}=0\iff x=0$$ (không thỏa mãn đk x là số nguyên tố)

* Nếu $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}<0$$ thì ta có hai trường hợp sau:

$$TH1:\{\begin{array}{l}\sqrt{x}>0\\ \sqrt{x}-2<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x<4\end{array}\iff 0<x<4$$(thỏa mãn đk $$x\ge 0;x\ne 4$$)  mà $$x$$ là số nguyên tố nên $$x=2;x=3$$

$$TH2:\{\begin{array}{l}\sqrt{x}<0\\ \sqrt{x}-2>0\end{array}\iff x\in \varnothing$$

Vậy $$x=2;x=3$$ thì thỏa mãn đề bài

Gọi khối lượng dung dịch $$HCl$$ $$10\%$$ là $$x(gam,x>0)$$

Gọi khối lượng dung dịch $$HCl$$ $$25\%$$ là $$y(gam,y>0)$$

Vì tổng khối lượng hai dung dịch là $$500$$ $$gam$$ nên ta có phương trình:

$$x+y=500(1)$$

Vì dung dịch tạo thành là $$HCl$$ $$16\%$$ nên ta có phương trình:

$$10\%x+25\%y=16\%.500(2)$$

Từ $$(1);(2)$$ ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 10\%x+25\%y=16\%.500\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 0,1x+0,25y=80\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ x+2,5y=800\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ -1,5y=-300\end{array}$$

 $$\{\begin{array}{l}x=300(tm)\\ y=200(tm)\end{array}$$

Vậy Bình cần dùng $$300$$ $$gam$$ dung dịch $$HCl$$ $$10\%$$ và $$200$$$$gam$$ dung dịch $$HCl$$ $$25\%$$

Gọi số người ban đầu có là $$x$$(người, $$x\in N\ast$$)

Số tiền mỗi người góp lúc đầu là: $$\frac{180}{x}$$ (triệu đồng)

Số người khi tăng thêm $$3$$ người là: $$x+3$$(người)

Số tiền mỗi người góp khi tăng thêm $$3$$ người là: $$\frac{180}{x+3}$$(triệu đồng)

Vì số tiền mỗi người góp giảm đi $$3$$ triệu nên ta có phương trình:

            $$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+3}=3$$

              $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+3}=1$$

              $$60\left(x+3\right)-60x=x(x+3)$$

              $$x^2+3x-180=0$$

              $$(x-12)(x+15)=0$$

            $$x=12(TM);x=-15(KTM)$$

Vậy ban đầu nhóm bạn đó có $$12$$ người

Cho phương trình: $$x^2-2x+m-1=0(1)$$ với $$m$$ là tham số.

$${\Delta }^{\prime }=1-m+1=2-m$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $${\Delta }^{\prime }>0\iff 2-m>0\iff m<2$$

Áp dụng Định lý Viète ta có:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=m-1\end{array}$$

Có:     $$x_1{x}_2-1=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$

            $$x_1{x}_2-1=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$$

           $$m-1-1=\frac{2}{m-1}$$       (Điều kiện: $$m\ne 1$$)

            $$(m-2)(m-1)=2$$

             $$m^2-3m=0$$

             $$m=0(TM);m=3(KTM)$$

Vậy $$m=0$$

Bán kính đáy phần hình trụ là : $$2:1=2(cm)$$

Thể tích của phần bình hình trụ là : $$V_1=\pi .{r_1}^2.h=3,14.1^2.8=25,12(c{m}^3)$$

Thể tích phần bình hình cầu là: $$V_2=\frac{4}{3}\pi .{r_2}^3=\frac{4}{3}.3,14.4,25^3\approx 321,39(c{m}^3)$$

Thể tích nước trong bình là : $$V=25,12+321,39=346,51(c{m}^3)$$

Vậy thể tích nước trong bình khoảng $$346,51(c{m}^3)$$

a)

+ Có $$AD$$ là đường cao của tam giác $$ABC$$

nên $AD\perp BC$ $\Rightarrow \widehat{ADB}=90^0$

+ Có $$BE$$ là đường cao của tam giác $$ABC$$

nên $BE\perp AC$ $\Rightarrow \widehat{AEB}=90^0$

+ Gọi $$I$$ là trung điểm của $$AB$$

   $\Delta ABD$ vuông tại $D\Rightarrow IA=IB=ID=\frac{AB}{2}$ $$(1)$$

   $\Delta ABE$ vuông tại $E\Rightarrow IA=IB=IE=\frac{AB}{2}$ $$(2)$$

Từ $(1);(2)$ suy ra $IA=IB=IE=ID\left(=\frac{AB}{2}\right)$

Nên bốn điểm $A,B,E,D$ cùng nằm trên một đường tròn .

b) Chứng minh: $$\widehat{ADB}=\widehat{ACK=}90^0$$

+ Chỉ ra: $$\widehat{ABD}=\widehat{AKC}$$

Chứng minh $\Delta$ABD đồng dạng $\Delta$AKC (g.g)

và AB.AC = AK.AD

+ Chứng minh tứ giác AFDB nội tiếp

$$\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{BAD}$$ (1)

+ Vì $\Delta$ABD đồng dạng $\Delta$AKC

$$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{KAC}$$ (2)

+ Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp

$$\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{EBF}$$

Hay $$\widehat{CAK}=\widehat{EBF}$$ (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra: $$\widehat{EBF}=\widehat{BFD}$$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BE // DF

Lại có BE $\perp AC$ (GT)

Vậy DF $\perp AC$

c) Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra M cố định và OM vuông góc BC (quan hệ giữa đường kính và dây)

+ Chứng minh tứ giác OMBF nội tiếp

Suy ra $$\widehat{OFM}=\widehat{OBM}$$

+ Chứng minh $$\widehat{OBM}=\frac{{180}^0-\widehat{BOC}}{2}=90^0-\widehat{BAC}=\widehat{ABE}$$

Mà $$\widehat{ABE}=\widehat{AFE}$$

nên $$\widehat{AFE}=\widehat{OFM}$$

Từ đó chứng minh $$\widehat{EFM}=180^0$$. Suy ra ba điểm E, F, M thẳng hàng

Gọi độ dài đoạn $$MB$$ là $$x(cm)$$, ta có:

Độ dài đoạn $$NC$$ là $$x(cm)$$

Độ dài đoạn $$MN$$ là $$20-x-x=20-2x(cm)$$

Tam giác $$BQM$$ vuông tại $$M$$ có:

                        $$\tan B=\tan 60^0=\frac{QM}{BM}=\frac{QM}{x}$$

                           $$QM=x.\tan 60^0=x.\sqrt{3}$$

Diện tích hình chữ nhật $$MNPQ$$ là: $$S=MN.QM=(20-2x).x\sqrt{3}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $$S=(20-2x).x\sqrt{3}=2\sqrt{3}(10-x).x\le 2\sqrt{3}{\left(\frac{10-x+x}{2}\right)}^2$$

                                                                     $$S\le 2\sqrt{3}.25=50\sqrt{3}$$

Dấu bằng xảy ra khi $$10-x=x$$ nên $$x=5$$

Vậy $$MB=5cm$$ để hình chữ nhật $$MNPQ$$ có diện tích lớn nhất.