Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 22

Nhìn vào biểu đồ ta thấy:

- Lớp $$6$$ có tất cả: $$7$$nam +$$9$$ nữ = $$16$$ học sinh

- Lớp $$7$$ có tất cả: $$9$$nam + $$7$$ nữ = $$16$$học sinh

- Lớp $$8$$ có tất cả: $$9$$nam + $$8$$ nữ = $$17$$ học sinh

- Lớp $$9$$có tất cả: $$9$$nam + $$8$$ nữ = $$17$$ học sinh

Như vậy, không gian mẫu trong bài này có tất cả $$16+16+17+17=66$$ học sinh.

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố $$A$$ là: $$7+9+9+9=34$$ học sinh

Xác suất để biến cố $$A$$xảy ra là: $P\left(A\right)=\frac{34}{66}=\frac{17}{33}$ 

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố $$B$$là: $$16$$học sinh

Xác suất để biến cố $$B$$ xảy ra là: $P\left(B\right)=\frac{16}{66}=\frac{8}{33}$ 

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố $$C$$ là: $$9+7+8=24$$ học sinh

Xác suất để biến cố $$C$$ xảy ra là: $P\left(C\right)=\frac{24}{66}=\frac{12}{33}$.

1) Tính giá trị của $A$ khi $x=25$

Biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$

Điều kiện: $x\ge 0$

Với $x=25$ thỏa mãn điều kiện

Thay $x=25$ vào biểu thức $A$ ta có: $A=\frac{\sqrt{25}+3}{\sqrt{25}+1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

Vậy với $x=25$ thì $A=\frac{4}{3}$

2) Rút gọn $B$

Điều kiện xác định: $x\ge 0$; $x\ne 4$; $\ne x\ne 9$

Ta có: $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}-\frac{x-3\sqrt{x}+5}{x-5\sqrt{x}+6}$

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\frac{x-3\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(x-3\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{x-3\sqrt{x}+x-4-x+3\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$

3) Cho $P=A:B$. Tìm $x$ để $2P=2\sqrt{x}-9$

Điều kiện xác định: $x\ge 0$; $x\ne 4$; $\ne x\ne 9$

Ta có: $P=A:B$$=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$$=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$

Để $2P=2\sqrt{x}-9$

$\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-9$

$2\sqrt{x}-4=\left(2\sqrt{x}-9\right)\left(\sqrt{x}+1\right)$

$2\sqrt{x}-4=2x+2\sqrt{x}-9\sqrt{x}-9$

$2x-9\sqrt{x}+5=0$

$\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)=0$

$[\begin{array}{l}2\sqrt{x}+1=0(\mathrm{PTVN})\\ \sqrt{x}-5=0\end{array}$

$\sqrt{x}-5=0$

$x=25$ (TM)

Vậy để $2P=2\sqrt{x}-9$ thì $x=25$.

Gọi số sản phẩm tháng thứ nhất đội $$I$$ làm được là $$x$$ (sản phẩm) $\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<1100\right)$

Số sản phẩm tháng thứ nhất đội $$II$$ làm được là $$y$$ (sản phẩm) $\left(y\in {\mathbb{N}}^{\ast },y<1100\right)$

Vì tháng thứ nhất hai đội sản xuất được $1100$ sản phẩm nên ta có phương trình

$x+y=1100$  $\left(1\right)$

Số sản phẩm tháng thứ hai đội $$I$$ làm được là $$x+15\%x=1,15x$$ (sản phẩm)

Số sản phẩm tháng thứ hai đội $$II$$ làm được là $$y+20\%y=1,2y$$ (sản phẩm)

Theo bài ra ta có phương trình $$1,15x+1,2y=1295$$   $$\left(2\right)$$

Từ  $\left(1\right)$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=1100\\ 1,15x+1,2y=1295\end{array}$

$\{\begin{array}{l}1,15x+1,15y=1265\\ 1,15x+1,2y=1295\end{array}$                     $\{\begin{array}{l}0,05y=30\\ x+y=1100\end{array}$                    $\{\begin{array}{l}y=600\\ x+y=1100\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=600\\ x+600=1100\end{array}$                       $\{\begin{array}{l}y=600\\ x=500\end{array}$ (thoả mãn điều kiện)

Vậy tháng thứ nhất đội $$I$$ làm được là $$500$$ (sản phẩm), đội $$II$$ làm được là $$600$$ (sản

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch cơ sở cần sản xuất trong một ngày là: $x$ (sản phẩm, $x>0$)

Số sản phẩm thực tế cơ sở cần sản xuất trong một ngày là: $x+3$ (sản phẩm, $x>0$)

Sản phẩm cơ sở cần hoàn thành theo kế hoạch là: $180$ (sản phẩm)

Thực tế cơ sở sản xuất vượt mức $18$ sản phẩm theo kế hoạch

 Số sản phẩm thực tế là: $198$  (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch cơ sở hoàn thành công việc là: $\frac{180}{x}$ (ngày)

Thời gian thực tế cơ sở hoàn thành công việc là: $\frac{198}{x+3}$ (ngày)

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{180}{x}-\frac{198}{x+3}=1$

$180\left(x+3\right)-198x=x\left(x+3\right)$

$180x+540-198x=x^2+3x$

$x^2+21x-540=0$

$$[\begin{array}{l}x=15\left(\mathrm{TM}\right)\\ x=-36\left(\mathrm{KTM}\right)\end{array}$$

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày cơ sở cần phải làm $15$ (sản phẩm)

$x^2-4x-7=0$

Phương trình có $ac=-7<0$nên luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi et ta có : $x_1+x_2=4;x_1{x}_2=-7$.

Khi đó ta có :$T=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}-2=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}-2=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}-2=\frac{4^2-2.\left(-7\right)}{-7}-2=\frac{-44}{7}$

Vậy $T=-\frac{44}{7}$

Đổi $80\mathrm{mm}=8\mathrm{cm}$

Phần thể tích nước dâng lên chính là thể tích của phần đá chìm trong nước của cục đá đó.

1) Chứng minh các điểm $M,N,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét tứ giác $MNDE$ :

Có $DN\perp CD$( vì $DN$là tiếp tuyến của $(O)$)

$\Rightarrow \widehat{CDN}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{EDN}=90^{\circ }$

$\Delta EDN$vuông tại $D$

Suy ra $3$điểm $E,D,N$thuộc đường tròn đường kính $EN$$$\left(1\right)$$

Ta có $\widehat{AMB}=90^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \widehat{EMN}=90^0$

$\Rightarrow \Delta EMN$vuông tại $M$

Suy ra $3$điểm $E,M,N$thuộc đường tròn đường kính $EN$$$\left(2\right)$$

Từ (1) và (2) Suy ra các điểm $M,N,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh $EN//CB$.

Xét $(O)$có $\widehat{CDM}=\widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM$)

$\Rightarrow \widehat{EDM}=\widehat{CBM}$

Vì  tứ giác  $MNDE$nội tiếp ( cmt )

$\Rightarrow \widehat{EDM}=\widehat{ENM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EM$)

                 Suy ra $\widehat{CBM}=\widehat{ENM}\left(=\widehat{EDM}\right)$  mà hai góc này  ở vị trí so le trong

$\Rightarrow EN//CB$.

3) Chứng minh$AM.BN=2R^2$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để diện tích tam giác $BNC$đạt giá trị lớn nhất.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta BPN$ :

Có $BP\perp DN\Rightarrow \widehat{BPN}=90^0$$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{BPN}=90^0$(1)

Có $DN\perp CD$ ($DN$ kẻ tiếp tuyến với $(O)$

$\Rightarrow BA//DN$

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{DNB}$ (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) ta có  (g - g)

Xét tứ giác $OBPD$có :

$\widehat{DOB}=\widehat{BPD}=\widehat{ODP}=90^0$

$OD=OB=R$ 

$\Rightarrow OBPD$ là hình vuông (DHNB) nên $OD=OB=BP=R$

Có (cmt) $\Rightarrow \frac{AM}{BP}=\frac{AB}{BN}$

$\Rightarrow AM.BN=BP.AB=R.2R=2R^2$

* Kẻ $EF\perp BC,NK\perp BC$

$S_{NBC}=\frac{1}{2}NK.BC$. Do $BC$ không đổi nên $S_{NBC}\max$ khi và chỉ khi $NK\max$.

Do $EF\perp BC,NK\perp BC$ $\Rightarrow EF//NK$.

Có tứ giác $EFKN$ là hình bình hành (DHNB)

Có $EF\perp BC\Rightarrow \widehat{EFK}=90^0$ nên tứ giác $EFKN$ là hình chữ nhật (DHNB)

$\Rightarrow EF=NK$.

Ta có $NK\max$ khi $EF\max$

khi $E\equiv O$khi $M\equiv B$

Độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$,

Vậy biểu thức xác định đường kính của đường tròn là  $\sqrt{x^2+y^2}$

Vậy bán kính của đường tròn là $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}$

Diện tích đường tròn là $S=\pi .\frac{x^2+y^2}{4}$

Diện tích của hình chữ nhật là $S_{hcn}=xy=640\left(m^2\right)$

Diện tích phần đất trồng hoa là

                           $S^{\prime }=S-S_{hcn}=\pi .\frac{x^2+y^2}{4}-xy$

Có ${\left(x-y\right)}^2\ge 0$ với mọi $x;y$

$$\Rightarrow$$$x^2-2xy+y^2\ge 0$$$\Rightarrow$$$x^2+y^2\ge 2xy$$$\Rightarrow$$$\frac{x^2+y^2}{4}\ge \frac{xy}{2}>0$

$$\Rightarrow$$$\frac{\pi \left(x^2+y^2\right)}{4}\ge \frac{\pi xy}{2}$$$\Rightarrow$$$\frac{\pi \left(x^2+y^2\right)}{4}-xy\ge \frac{\pi xy}{2}-xy$

Vậy $S^{\prime }\ge \frac{\pi xy}{2}-xy$$$\Rightarrow$$$S\ge 320\pi -640$

Vậy để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì $x=y$

Khi đó $x=y=8\sqrt{10}$ (m)