Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 33

- Có $20$ kết quả có thể xảy ra của phép thử “Số xuất hiện trên thẻ được lấy ra” là: $1;2;3;...;19;20.$

a) Những kết quả thuận lợi của biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có chữ số tận cùng là $2$” là: $2;12.$ Có $2$ kết quả thuận lợi

Vậy xác suất của biến cố A là: $\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$

b) Những kết quả thuận lợi của biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nguyên tố” là: $2;3;5;7;11;13;17;19.$ Có $8$ kết quả thuận lợi

Vậy xác suất của biến cố B là: $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

b) Những kết quả thuận lợi của biến cố C: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số với tích các chữ số bằng $$4$$” là: $14.$ Có $1$ kết quả thuận lợi

Vậy xác suất của biến cố C là: $\frac{1}{20}$

Gọi số áo tổ một may được trong một ngày là $$x$$ (áo),        ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x>10$).

Gọi số áo tổ hai may được trong một ngày là $$y$$ (áo), ($y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Vì tổ thứ nhất may trong $$3$$ ngày, tổ thứ hai may trong $$5$$ ngày thì cả hai tổ may được $$1310$$ chiếc áo nên ta có phương trình : $3x+5y=1310$  (1).

Vì trong mỗi ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai $$10$$ chiếc áo nên ta có phương trình: $x-y=10$ hay $x=y+10$.

Thay $x=y+10$ vào phương trình (1) ta được:

$3\left(y+10\right)+5y=1310$

$3y+30+5y=1310$

$8y=1280$

$y=160$ (tm).

Suy ra $x=160+10=170$ (tm).

Mỗi ngày tổ một may được $170$ áo, tổ hai may được $160$ áo.

                Gọi số dãy ghế lúc đầu ở phòng họp là: $x$ (dãy)$\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

                Vì lúc đầu phòng họp có $$150$$ người nên số người được xếp trên một dãy ghế là:$\frac{150}{x}$(người).

                Số người có trong phòng họp sau khi thêm $$66$$ người là:$150+66=216$(người).

                Vì lúc sau phải  kê thêm hai dãy ghế nên số dãy ghế lúc sau là:$x+2$(dãy).

                Số người được xếp trên một dãy ghế lúc sau là:$\frac{216}{x+2}$(người).

                Vì lúc sau mỗi dãy tăng thêm $$3$$ người nên ta có phương trình:

                  $\frac{216}{x+2}-\frac{150}{x}=3$

                  $216x-150x-300=3x\left(x+2\right)$

                   $3x^2-60x+300=0$

                   $x^2-20x+100=0$

                   ${\left(x-10\right)}^2=0$

                    $x=10$(thỏa mãn)

Vậy lúc đầu phòng họp có $$10$$ dãy ghế.

Vì $x=-\sqrt{3}$ là nghiệm của phương trình $x^2+4x+m=0$ nên ta có:

${\left(-\sqrt{3}\right)}^2+4\left(-\sqrt{3}\right)+m=0$

$\Rightarrow m=4\sqrt{3}-3$

Với $m=3$ phương trình đã cho trở thành: $x^2+4x+4\sqrt{3}-3=0$

$\Delta {}^{\prime }={\left(b{}^{\prime }\right)}^2-ac$ $=2^2-4\sqrt{3}+3$$=7-4\sqrt{3}>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:$x_1+x_2=-4$; $x_1.x_2=4\sqrt{3}-3$

Vậy tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình là:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1+x_2}$$=\frac{-4}{4\sqrt{3}-4}$$=\frac{-1}{\sqrt{3}-1}$$=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$.

a) Chiều cao của hộp hình trụ: $3.6,2=18,6\left(cm\right)$

Bán kính của hình tròn đáy hình trụ: $6,2:2=3,1\left(cm\right)$

Thể tích của hộp hình trụ là: $V=\pi R^{2}h\approx 3,14.3,1^2.18,6$$\approx 561,3\left(c{m}^3\right)$

b) Thể tích của 3 quả bóng tenis là: $V=3.\frac{4}{3}\pi R^3$$\approx 3.\frac{4}{3}.3,14.3,1^3$$\approx 93,5\left(c{m}^3\right)$

Thể tích phần không gian còn trống bên trong là: $561,3-93,5=467,8\left(c{m}^3\right)$

a) Chứng minh:  Tứ giác $PDKI$ nội tiếp

Ta có $PQ$ là đường kính của đường tròn (O). Suy ra $\widehat{PIQ}=90^{\circ }$ suy ra $$CI.CP=CD.CK$$

Do P là điểm chính giữa của cung lớn AB. Suy ra PA = PB

Mà OA = OB (cùng là bán kính của (O))

Suy ra PO là đường trung trực của AB suy ra $OP\perp AB$ tại D

Suy ra $PQ\perp AB$

$\widehat{PDK}=90^{\circ }$

Nên $\widehat{PDK}+\widehat{PIK}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$

 Tứ giác $\mathrm{PDKI}$nội tiếp (hai góc đối bù nhau )

b) Xét tam giác $CIK$ và tam giác $CDP$ ta có :

$$\hat{C}$$ chung

$$\widehat{CIK}=\widehat{CDP}=90^{\circ }$$

$$\frac{CI}{CD}=\frac{CK}{CP}$$ suy ra $$CI.CP=CD.CK$$

$$CI.CP=CD.CK$$

Ta có PO là đường trung trực của AB, hay PQ là đường trung trực của AB

$\mathrm{QA}=\mathrm{QB}$ hay điểm $Q$ là điểm chính giữa cung nhỏ  nên

Do đó $\widehat{AIQ}=\widehat{BIQ}$ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau )

Hay $IK$ là đường phân giác trong của tam giác $AIB$ ; và lại có $IK\perp IC(\widehat{PIQ}=90^{\circ })$

nên $IC$ là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh $I$ của tam giác $AIB$

c) Ta đi chứng minh $K$ là điểm cố định

Ta có điểm $D$ là trung điểm $AB(\mathrm{OD}\perp \mathrm{AB})$

Do $ABPI$ là tứ giác nội tiếp

$\widehat{CAI}=\widehat{CPB}$

$\frac{CA}{CP}=\frac{CI}{CB}$

$CA.CB=CI.CP$

Vậy nên $CA.CB=CK.CD\left(=CI.CP\right)$

$CK.CD=\left(CD-DA\right)\left(CD+DB\right)$

$CK.CD=\left(CD-\frac{AB}{2}\right)\left(CD+\frac{AB}{2}\right)$

$CK.CD=C{D}^2-\frac{A{B}^2}{4}$

$C{D}^2-CK.CD=\frac{A{B}^2}{4}$ 

$CD.KD=\frac{A{B}^2}{4}$

$KD=\frac{A{B}^2}{4CD}$

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là $x$(m) ($x>0$)

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là $4x$(m).

Gọi chiều cao của bể là $y$ (m, $y>0$).

Thể tích của bể là $$V=4x.x.y=400$$ suy ra $$x^2.y=100$$ suy ra$$y=\frac{100}{x^2}$$.

Diện tích xây dựng của bể là $$S=4x^2+2\left(x+4x\right)y$$$$=4x^2+10xy$$$$=4x^2+10.\frac{100}{x^2}.x$$$$=4x^2+\frac{1000}{x}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm (với hai số không âm $x,y$ ta có ${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$nên $x+y-2\sqrt{xy}\ge 0$ suy ra $x+y\ge 2\sqrt{xy}$, dấu bằng xảy ra khi $$x=y$$):

Ta có $$S=4x^2+\frac{1000}{x}$$$$=\left(4x^2+100\right)+\frac{1000}{x}-100$$$$\ge 2\sqrt{4x^2.100}+\frac{1000}{x}-100$$$$=40x+\frac{1000}{x}-100$$.

Và $$S\ge 40x+\frac{1000}{x}-100$$$$\ge 2\sqrt{40x.\frac{1000}{x}}-100$$$$=400-100=300$$.

Khi đó $S_{\min }=300$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $$\{\begin{array}{c}4x^2=100\\ 40x=\frac{1000}{x}\end{array}$$ suy ra  $$x=5$$

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là $$300.500000=150000000$$ đồng $=150$triệu đồng