Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 39

- Số đại biểu tham dự hội nghị là: $54:33,75\%=160$ (đại biểu)

- Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng:

Không gian mẫu thử có 20 phần tử

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “kim chỉ vào ô có số là bội của 3” là 6.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

1)     Thay $x=4$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ có:

$A=\frac{3.4+12}{\sqrt{4}+3}=\frac{24}{5}$

Vậy $A=\frac{24}{5}$ khi $x=4$

2) Chứng minh$B=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

$$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{7\sqrt{x}+3}{x-9}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{7\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-7\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

$$=\frac{x+3\sqrt{x}+\sqrt{x}+3+2x-6\sqrt{x}-7\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

$$=\frac{3x-9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

$$=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

$$=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$$

Vậy  $B=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ với $x>0;x\ne 9$

2)     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{A}{B}$

$$P=\frac{A}{B}$$$$=\frac{3x+12}{\sqrt{x}+3}.\frac{\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}}$$$$=\frac{x+4}{\sqrt{x}}$$$$=\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}$$

Xét bất đẳng thức Cauchy: Với hai số thực không âm a, b ta có:

                                     $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

Thật vậy: ${\left(a-b\right)}^2\ge 0$$\Rightarrow {\left(a+b\right)}^2\ge 4ab$$\Rightarrow a+b\ge 2\sqrt{ab}$

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

Vì $x\ge 0$$\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0;\frac{4}{\sqrt{x}}>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 $P=\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}$ $\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{4}{\sqrt{x}}}$ $=4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\sqrt{x}=\frac{4}{\sqrt{x}}$

                                                 $x=4$(Thỏa mãn)

Vậy $P_{\min }=4$ khi và chỉ khi $x=4$

Gọi số tấm kính giọt bắn mỗi lớp $9A,9B$làm được trong đợt 1 lần lượt là: $x,y$ (tấm) ($0<x,y<1500)$

Vì trong đợt 1 cả hai lớp $9A,9B$ đã làm được $1500$chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

$x+y=1500$  (1)

Số tấm kính giọt bắn lớp $9A$làm được trong đợt 2 là: $x+70\%.x=1,7x$ (tấm)

Số tấm kính giọt bắn lớp $9B$làm được trong đợt 2 là: $y+68\%.y=1,68y$ (tấm)

Vì trong đợt 2 cả hai lớp $9A,9B$ đã làm được $2358$chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

$1,7x+1,68y=2358$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\{\begin{array}{l}x+y=1500\left(1\right)\\ 1,7x+1,68y=2358\left(2\right)\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được: $x=960\left(TM\right);y=540\left(TM\right)$

Vậy số tấm kính giọt bắn mỗi lớp $9A,9B$làm được trong đợt 1 lần lượt là: $960;540$ (tấm)

Gọi số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là: $x$ (sản phẩm) ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo kế hoạch là: $\frac{60}{x}$ (giờ)

Số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo thực tế là: $x+2$ (sản phẩm)

Số sản phẩm người công nhân đó làm được theo thực tế là: $60+3=63$(sản phẩm)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo thực tếlà: $\frac{63}{x+2}$ (giờ)

Vì thực thế người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn $30$ phút $=\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{60}{x}$$-\frac{63}{x+2}=\frac{1}{2}$

$$\frac{120\left(x+2\right)-126x}{2x\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{2x\left(x+2\right)}$$

$$120x+240-126x=x^2+2x$$

$$x^2+8x-240=0$$

$$\left(x+20\right)\left(x-12\right)=0$$

$$x=-20\left(KTM\right);$$$$x=12\left(TM\right)$$

Vậy số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là $12$ (sản phẩm)

Xét phương trình $x^2-x-1=0\left(1\right)$

Ta có: $ac=-1<0$ nên PT (1) luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1,x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-1\end{array}$

Xét $\frac{x_2+1}{x_1}+\frac{x_1+1}{x_2}$ $=\frac{x_2^2+x_2+x_1^2+x_1}{x_1{x}_2}$ $=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+x_1+x_2}{x_1{x}_2}$ $=\frac{1^2+2-1}{-1}$ $=-2$

$\frac{x_2+1}{x_1}.\frac{x_1+1}{x_2}$ $=\frac{x_1.x_2+x_1+x_2+1}{x_1.x_2}$ $=\frac{-1+1+1}{-1}$ $=-1$\(\)

Do đó: \(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}};\) $\frac{x_1+1}{x_2}$là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t sau: $t^2+2t-1=0.$

 Bán kính quả bóng hình cầu là : $r=6,5:2$ $=3,25cm$

 Diện tích bề mặt mỗi quả bóng là : $S_{mc}=4\pi r^2$ $=4.\pi ,3,25^2$ $=42,25\pi \left(c{m}^2\right)$

Thể tích của mỗi quả bóng hình cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ $=\frac{4}{3}.\pi .3,25^3$ $=\frac{13,73125\pi }{3}\left(c{m}^3\right)$

b)     Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp bóng.

Bán kính hộp bóng hình trụ chính là bán kính của quả bóng hình cầu là: $r=6,5:2=3,25cm$

Chiều cao của hộp bóng hình trụ là: $h=3.6,5=19,5\left(cm\right)$

Diện tích xung quanh hộp bóng hình trụ là : $S_{xq}=2\pi Rh$ $=2.\pi .3,\mathrm{25.19.5}$ $=123,5\pi \left(c{m}^2\right)$

Thể tích của hộp bóng hình trụ là: $$V=\pi r^{2}h$$ $$=\pi .3,25^2.19,5$$ $$=205,96875\pi \left(c{m}^3\right)$$

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

Xét $\left(O\right)$có:

$AB$là tiếp tuyến tại  $B$ (GT) nên $$AB\perp OB\Rightarrow \widehat{ABO}=90^{\circ }$$

$$\Rightarrow \Delta ABO$$vuông tại $B$ nên điểm $$B$$ thuộc đường tròn đường kính $$AO$$ (1)

Mặt khác: $AC$là tiếp tuyến tại  $C$ (GT) nên $$AC\perp OC\Rightarrow \widehat{ACO}=90^{\circ }$$

$$\Rightarrow \Delta ACO$$vuông tại $$C$$nên điểm $$C$$ thuộc đường tròn đường kính $$AO$$ (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$AO$$

Do đó, tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AO$$

 b) Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$ và $BA.BE=AE.BO$.

* Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$

Xét $\left(O\right)$có:  $AB$và$AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau ở $A$ (GT)

               $\Rightarrow AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

           Mà $OB=OC$ ($B,C$ thuộc đường tròn$\left(O\right)$)

               $\Rightarrow OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $BC\perp OA$

* Chứng minh $BA.BE=AE.BO$

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta AEB$  có:

$\widehat{ABO}=\widehat{AEB}=90^{\circ }(cmt)$

$\widehat{BAO}$: góc chung

Suy ra: $\Delta ABO$ ~ $\Delta AEB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{BO}{EB}\Rightarrow AB.EB=AE.BO$

 c) Gọi $I$là điểm thộc đoạn thẳng $BE$, đường thẳng qua$I$và vuông góc $OI$cắt các tia $AB,AC$theo thứ tự tại $D$và $F$. Chứng minh $F$ là trung điểm của$AC$.

Vì $$AB\perp OB\Rightarrow \widehat{DBO}=90^{\circ }$$

$$\Rightarrow \Delta DBO$$vuông tại $B$ nên điểm $$B$$ thuộc đường tròn đường kính $$DO$$ (1)

Vì $$OI\perp DF\Rightarrow \widehat{DIO}=90^{\circ }$$

$$\Rightarrow \Delta DIO$$vuông tại $I$ nên điểm $$I$$ thuộc đường tròn đường kính $$DO$$ (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm $D,B,I,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$DO$$

Do đó, tứ giác $DBIO$ nội tiếp đường tròn đường kính $$DO$$

$$\Rightarrow \widehat{IDO}=\widehat{IBO}$$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$IO$$)

CMTT ta có: $$\widehat{IFO}=\widehat{ICO}$$

Mặt khác: $$OB=OC\Rightarrow \Delta OBC$$cân ở $$O\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OCB}$$ hay $$\widehat{IBO}=\widehat{ICO}$$

Do đó: $$\widehat{IDO}=\widehat{IFO}\Rightarrow \Delta ODF$$ cân ở $$O$$ mà $$OI\perp DF$$ (GT)

                               $$\Rightarrow I$$ là trung điểm của $$DF$$

Gọi chiều rộng là $x\left(cm\right)\left(0<x<12\right)$

Chiều dài là $12-x\left(cm\right)$

Chiều cao là $24-x\left(cm\right)$

Ta có thể tích chiếc hộp là: $V=x\left(12-x\right)\left(24-x\right)\left(c{m}^3\right)$

Bất đẳng thức Cauchy 3 số không âm $a,b,c$ta có:  $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$      

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Thật vậy, đặt $x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}$$\Rightarrow x,y,z\ge 0\Rightarrow x+y+z\ge 0$

Ta phái chứng minh:

$x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$

${\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz\right]-3xy\left(x+y+z\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right]\ge 0$

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\ge 0$  (vì $x+y+z\ge 0$)

${\left(x-y\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2\ge 0$\(\)(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z\) hay $a=b=c$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có:

$V=x\left(12-x\right)\left(24-x\right)\left(c{m}^3\right)$

$\frac{1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}.x.\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\left(12-x\right)\left(24-x\right)$

$\le \frac{1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}.{\left[\frac{x+\left(\sqrt{3}-1\right)\left(12-x\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(24-x\right)}{3}\right]}^3$

$=\frac{1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}.{\left[\frac{x+12\sqrt{3}-\sqrt{3}x-12+x+48-2x-24\sqrt{3}+\sqrt{3}x}{3}\right]}^3$

$=\frac{1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}.{\left[\frac{36-12\sqrt{3}}{3}\right]}^3=384\sqrt{3}$

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $x=\left(\sqrt{3}-1\right)\left(12-x\right)$$=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(24-x\right)$$\iff x=12-4\sqrt{3}$

Vậy $V_{\max }=384\sqrt{3}$$\iff x=12-4\sqrt{3}$