Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 47

a) Bảng tần số tương đối của biểu đồ trên là:                    

b) Môn thể thao nào được học sinh THCS của $1$ trường yêu thích nhất là môn bơi vì môn bơi chiếm $47\%$ các bạn yêu thích.

a. Không gian mẫu của phép thử là:

.

Không gian mẫu có $$6$$phần tử.

b. Vì các viên bi có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả là đồng khả năng.

+ Có $$2$$ kết quả thuận lợi cho biến cố $$\mathrm{A}$$ là: .

Xác suất của biến cố $$\mathrm{A}$$là $P\left(A\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

+ Có $$3$$ kết quả thuận lợi cho biến cố $$\mathrm{B}$$ là: .

 Xác suất của biến cố $$\mathrm{B}$$ là $P\left(B\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

+ Có $$4$$ kết quả thuận lợi cho biến cố $$\mathrm{C}$$ là: .

 Xác suất của biến cố $$\mathrm{C}$$ là $P\left(C\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

a) Thay $$x=25$$(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $$B$$ ta được $B=\frac{1}{\sqrt{25}+2}=\frac{1}{7}$

b) $M=\frac{A}{B}$

$$M=\left(\frac{x+2}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

$$=\left(\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{1}$$

$$=\left(\frac{\left(x+2\right)-2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{1}$$

$$=\frac{x+2-2x-4\sqrt{x}+x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\sqrt{x}+2}{1}$$

$$=\frac{-4\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\sqrt{x}+2}{1}=\frac{-4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$$

c) Theo đề bài ta có:

$$M^2-M=2$$

$$\left(M+1\right)\left(M-2\right)=0$$

$$M=-1$$ hoặc $$M=2$$

* Với $$\mathrm{M}=-1$$ ta có $\frac{-4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-1$

$-4\sqrt{x}+1=-\sqrt{x}+1$

$x=0$ (TMĐK)

* Với $$\mathrm{M}=2$$ ta có $\frac{-4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=2$

$-4\sqrt{x}+1=2\sqrt{x}-2$

$x=\frac{1}{4}$ (TMĐK)

Gọi dân số nội thành và ngoại thành lần lượt là $$\mathrm{a},\mathrm{b}$$($$0<a,b<420$$, nghìn người)

Ta có: dân số của một tỉnh hay tổng của $$\mathrm{a}$$ và $$\mathrm{b}$$là $$420$$ nghìn người nên $$a+b=420$$

Dân số nội thành là: $$100,8\%a=1,008a$$(người)

Dân số ngoại thành là: $$101,1\%b=1,011b$$(người)

Vì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1% nên ta có pt:

$$1,008a+1,011b=420.101\%$$

$$1,008a+1,011b=424,2$$

Ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}a+b=420\\ 1,008a+1,011b=424,2\end{array}$$

Giải hệ phương trình ta được: $$a=140;b=280$$ 

Vậy dân số nội thành là $$140$$ nghìn người, dân số ngoại thành là $$280$$ nghìn người.

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $$x\left(km/h\right)\left(x>0\right)$$

Vận tốc lúc sau của ô tô là $$\mathrm{x}+10$$$$\left(km/h\right)$$

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường đầu $\frac{180}{x}$ (giờ)

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường sau $\frac{220}{x+10}$(giờ)

Theo đề bài, thời gian ô tô đi trên cả quãng đường là $$8$$ giờ.

Ta có phương trình: $\frac{180}{x}+\frac{220}{x+10}=8$

Giải phương trình tìm được hai nghiệm: $$45$$ và $$-5$$

Giá trị $x=45$ (TMĐK), trả lời.

 Phương trình: $x^2-3x-7=0$

Ta có $a=1;c=-7$. Và $a.c<0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=3\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-7\end{array}$

$B=x_1^2+x_2^2$$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$$=3^2-2.(-7)$$=9+14$$=23.$

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

$\mathrm{8.8.20}=320\left(c{m}^3\right)$.

Thể tích của bốn lỗ hình trụ bằng nhau là: $\pi R^{2}h$$=3,14.{\left(\frac{2,5}{2}\right)}^2.20$$=98,125\left(c{m}^3\right)$

Thể tích đất sét để làm một viên gạch là: $320-98,125\approx 221,9\left(c{m}^3\right)$

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: $10.1000.102\%=10200$(viên gạch)

 Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: $10200.1100=11220000$(đồng)

1) $BE\perp AC$(gt)  $\Rightarrow \widehat{AEH}=90^0$

$CF\perp AB$(gt) $\Rightarrow \widehat{HFA}=90^0$

Ta có: $$\Delta AEH$$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,E,H$cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.

$$\Delta HFA$$ vuông tại $F$ nên ba điểm $H,F,A$cùng thuộc đường tròn đường kính $AH.$

Nên $4$ điểm $A,F,H,E$cùng thuộc một đường tròn đường kính $AH.$

2) Xét đường tròn $(O)$có:

$\widehat{ABC}=\widehat{AQC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

$\widehat{ACQ}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACQ$ có: $\widehat{ABC}=\widehat{AQC}$ ; $\widehat{ADB}=\widehat{ACQ}=90^0$

Suy ra $\Delta ADB$∽$\Delta ACQ$ (g – g)

$\Rightarrow \widehat{BAD}$ = $\widehat{CAQ}$ (hai góc tương ứng)

3) Vì $\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAQ}$ (hai góc tương ứng)

Vì $\widehat{BAD}=\widehat{CAQ}$$\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{PAE}$$\Rightarrow \widehat{BAD}+\widehat{DAQ}=\widehat{DAQ}+\widehat{QAC}$$$\Rightarrow \widehat{BAQ}=\widehat{DAC}$$ hay $$\widehat{BAI}=\widehat{PAE}$$

$BE\perp AC$(gt)  $\Rightarrow \widehat{BEC}=90^0$   ;    $CF\perp AB$(gt) $\Rightarrow \widehat{CFB}=90^0$

Ta có: $$\Delta BEC$$ vuông tại $E$ nên ba điểm $B,E,H$cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

$$\Delta BFC$$ vuông tại $F$ nên ba điểm $B,F,C$cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$

Nên $4$ điểm $B,F,E,C$cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$

Suy ra tứ giác$BFEC$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180^0$

Mà $\Rightarrow \widehat{AEF}+\widehat{FEC}=180^0$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{FBC}=\widehat{AEF}$

hay $\widehat{ABI}=\widehat{AEP}$

Xét $\Delta AEP$ và $\Delta ABI$ có: $\widehat{ABI}=\widehat{AEP}$ (cmt); $$\widehat{BAI}=\widehat{PAE}$$

nên $\Delta AEP$ ∽$\Delta ABI$ (g – g)

Vì $\Delta AEP$∽$\Delta ABI$ $\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{AP}{AI}\left(1\right)$

Chứng minh $\Delta AEH$ ∽$\Delta ABQ$ $\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AQ}\left(2\right)$

Từ$(1)$và $(2)$$\Rightarrow \frac{AP}{AI}=\frac{AH}{AQ}$$\Rightarrow \frac{AP}{AH}=\frac{AI}{AQ}$

$\Rightarrow$$$PI\parallel HQ$$ ( định lý Talet đảo)

Với $x,y,z\ge 0$

Ta đi chứng minh: $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$

$x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3-3x^{2}y-3x{y}^2+z^3-3xyz\ge 0$

${\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\ge 0$

${\left(x+y\right)}^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left[x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\ge 0$

$2\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2\right)\ge 0$

$\left(x+y+z\right)\left[{\left(x-y\right)}^2+{\left(x-z\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2\right]\ge 0$ (Luôn đúng với mọi $x,y,z\ge 0$)

Vậy nên $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$

 Gọi cạnh hình vuông nhỏ là $x(m,0<x<1)$

Chiều cao của hình hộp là $x$ (m) 

Chiều dài, chiều rộng của hộp hình hộp là $1-2x$ (m)

Thể tích của hộp hình lập phương khi đó là:  $(m^3)$

$x.(1-2x)(1-2x)$$=\frac{1}{4}.4x.(1-2x)(1-2x)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$4x.(1-2x)(1-2x)\le {\left(\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}\right)}^3$

$\frac{1}{4}.4x.(1-2x)(1-2x)\le \frac{1}{4}{\left(\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}\right)}^3$

$\frac{1}{4}.4x.(1-2x)(1-2x)\le \frac{1}{4}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi $$4x=1-2x$$

$$6x=1$$

$x=\frac{1}{6}(TM)$