Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 5

Từ bảng tần số ghép nhóm, nhóm chiều cao $[170;180)$ có tần số là 8.

Tần số tương đối của nhóm này được tính bằng: $\frac{8}{40}=0,2=20\%.$

Vậy, tần số ghép nhóm của nhóm $[170;180)$ là 8, và tần số tương đối của nhóm này là 20%.

Xác suất của biến cố B"Hai viên xúc xắc đều ra số chẵn":

Khi gieo hai viên xúc xắc, thì không gian mẫu của phép thử là 36 cặp sô (1,1); (1,2), (1,3), …..

( 1,6), ( 2,1), ( 2,2),……(6,6)

Các số chẵn trên một viên xúc xắc là: 2, 4, 6.

Do đó, hai viên xúc xắc đều ra số chẵn có các cặp (x, y) là:

$(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6).$

Có 9 kết quả thỏa mãn điều kiện này, do đó xác suất của biến cố B là:

$P(B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}.$

Thay $x=1$ (thoả mãn) vào biểu thức $A$, ta có:  $A=\frac{\sqrt{1}-2}{\sqrt{1}+9}=\frac{1-2}{1+9}=\frac{-1}{10}$

     Vậy $A=\frac{-1}{10}$ tại $x=1$.    

$B=\frac{3\sqrt{x}-6}{x-2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2-\sqrt{x}}$  với $x>0$, $x\ne 4$

$B=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$

$B=\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ 

$B=1+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$

$B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$              

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+9}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+9}$         

$P<\frac{1}{2}$  

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+9}<\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+9}-\frac{1}{2}<0$

$\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+9\right)}{2\left(\sqrt{x}+9\right)}<0$

$\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-9}{2\left(\sqrt{x}+9\right)}<0.$ 

$\frac{\sqrt{x}-11}{2\left(\sqrt{x}+9\right)}<0$           

Giá trị phân thức  nhỏ hơn 0 khi tử và mẫu trái dấu

Với mọi $x$ thoả mãn điều kiện, ta có: mẫu = $2\left(\sqrt{x}+9\right)>0$

Nên $\sqrt{x}-11<0$

$\begin{array}{l}\sqrt{x}<11\\ x<121\end{array}$  

Kết hợp điều kiện xác định  : $\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 4\\ x<121\end{array}$ ta được $\{\begin{array}{l}0<x<121\\ x\ne 4\end{array}$

Mà $x$ là số nguyên lớn nhất nên $x=120$ (thoả mãn)

Vậy $x=120$ thỏa mãn bài toán.  

Gọi $x,y$ (đồng) lần lượt là giá niêm yết của món hàng $A$ và món hàng $B$.

Điều kiện: $x,y>0$

Mặt hàng $A$ giảm giá $20\%$ so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 $x-20\%x=x\left(1-20\%\right)$    ( đồng)

mặt hàng $B$ giảm giá là $15\%$ so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 $$y-15\%y=y\left(1-15\%\right)$$    ( đồng)

Mặt hàng $A$ giảm giá $20\%$ và mặt hàng $B$ giảm giá là $15\%$ so với giá niêm yết và mua $2$ món hàng $A$ và $1$ món hàng $B$ phải trả tổng số tiền là $362000$ đồng

nên $2.x\left(1-20\%\right)+y\left(1-15\%\right)=362000$

Trong khung giờ vàng thì món hàng $A$ được giảm giá $30\%$ nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 $x-30\%x=x\left(1-30\%\right)$    ( đồng)

Trong khung giờ vàng thì món hàng $B$ được giảm giá $25\%$ nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 $$y-25\%y=y\left(1-25\%\right)$$    ( đồng)

trong khung giờ vàng thì món hàng $A$ được giảm giá $30\%$ còn món hàng $B$ được giảm giá $25\%$

so với giá niêm yết và mua $3$ món hàng $A$ và $2$ món hàng $B$ trong khung giờ vàng nên chỉ trả số

tiền là $552000$ đồng

nên $3.x.\left(1-30\%\right)+2.y.\left(1-25\%\right)=552000$

ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2.x\left(1-20\%\right)+y\left(1-15\%\right)=362000\\ 3.x.\left(1-30\%\right)+2.y.\left(1-25\%\right)=552000\end{array}$

$\{\begin{array}{l}1,6x+0,85y=362000\\ 2,1x+1,5y=552000\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=120000\\ y=200000\end{array}$

Vậy giá niêm yết của món hàng $A$ là $120000$ đồng, của món hàng $B$ là $200000$ đồng.

Gọi số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là $$x$$ (đèn) ( $x\in N^{\ast }$)

thì Thời gian làm số đèn theo kế hoạch là $\frac{1200}{x}$ ( ngày)

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch được $12x$ (đèn)

Số đèn còn lại là $1200-12x$(đèn)

Năng suất làm số đèn còn lại là $x+20$(đèn)

Thời gian làm số đèn còn lại $\frac{1200-12x}{x+20}$ ( ngày)

Vì nhóm thợ đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày

Ta có phương trình $\frac{1200}{x}=12+\frac{1200-12x}{x+20}+2$

Giải phương trình được $x=60$(thỏa mãn), $x=-200$( loại)

Vậy số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là $60$ (đèn)

phương trình $4x^2-2x-1=0$

Vì $\Delta =b^2-4ac={\left(-2\right)}^2-\mathrm{4.4.}\left(-1\right)=20>0$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

Theo định lí Vi-et, ta có: $\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{4}\end{array}$

Ta có: $A={\left(x_1-x_2\right)}^2-x_1\left(x_1-\frac{1}{2}\right)$

$\begin{array}{l}A={\left(x_1-x_2\right)}^2-x_1\left(x_1-\frac{1}{2}\right)\\ A=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2-x_1\left(x_1-x_1-x_2\right)\\ A=x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\\ A={\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\\ A={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3.\left(\frac{-1}{4}\right)\\ A=1\end{array}$

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

$V=\mathrm{8.8.20}=1280\left(c{m}^3\right)$

Thể tích của 1 lỗ ống hình trụ  là: $V_1=\pi R^{2}h=3,14.{\left(\frac{2,5}{2}\right)}^2.20=98,125\left(c{m}^3\right)$

Mỗi viên gạch bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau

Nên thể tích đất sét để làm một viên gạch là: $V_2=V-4.V_1=1280-4.98,125\approx 887,5\left(c{m}^3\right)$

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: $10000.\left(1+2\%\right)=10200$ (viên gạch)

 Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: $10200.1100=11220000$ (đồng) 

a) Chứng minh tứ giác $BAEF$ nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác $BAEF$, ta có:

$\widehat{BFE}=90^{\circ }$ ($EF\perp BC$ tại $F$)

$\widehat{BAE}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa $\left(O\right)$)

Gọi I là trung điểm $BE$. Theo tính chất trung tuyến của tam giác vuông

Thì $IA=IE=IB=IF$suy ra 4 điểm $B,A,E,F$cùng thuộc đường tròn

$\Rightarrow$ Tứ giác $BAEF$ nội tiếp

b) Chứng minh DB là phân giác góc $ADF$.

Chứng minh tương tự tứ giác $CDEF$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EDF}=\widehat{BCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  $EF$)

Mà $\widehat{BCA}=\widehat{ADB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ của $\left(O\right)$

Nên $\widehat{EDF}=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow DB$ là tia phân giác của góc $ADF$.

c) Chứng minh $DM.CA=CF.CO$.

Xét $\Delta CDE$ vuông tại $D$, ta có: $DM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm của $CE$)

$\Rightarrow DM=\frac{1}{2}CE$$\Rightarrow CE=2DM$.

Xét $\Delta CEF$ và $\Delta CBA$, ta có:

$\widehat{ACB}$ là góc chung

$\widehat{CFE}=\widehat{CAB}$ $\left(=90^{\circ }\right)$

 $\left(g-g\right)$

$\Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{CF}{CA}$ (tỉ số đồng dạng)

$\Rightarrow CE.CA=CF.CB$

Mà $CE=2DM$ và $CB=2CO$ ($BC$ là đường kính của $\left(O\right)$)

Nên $2DM.CA=CF.2CO$

$\Rightarrow DM.CA=CF.CO$.

Gọi số lần giảm giá $$100000$$đồng thì thu được doanh thu lớn nhất là $$x$$ (lần)

$$\Rightarrow$$ Sau $$x$$ lần giảm thì giá của tour là: 

$$2000000-100000.x$$ (đồng).

Vì cứ sau $$1$$ lần giảm thì có thêm $$20$$ người tham gia nên sau $$x$$ lần giảm thì có thêm $$20.x$$(người tham gia) nên tổng số người tham gia sau $$x$$ lần giảm giá là:

$$150+20.x$$ (người )

Tổng doanh thu sau $$x$$ lần giảm giá là:

$$S=\left(2000000-100000.x\right).\left(150+20.x\right)$$(đồng)

$$S=100\mathrm{000.10.}\left(20-x\right).\left(15+2x\right)$$(đồng)

$$S=1000000.\left(-2x^2+25x+300\right)$$ (đồng)

Xét $$\left(-2x^2+25x+300\right)=-2\left(x^2-\frac{25}{2}x-150\right)$$

$$\begin{array}{l}=-2\left[\left(x^2-2.\frac{25}{4}.x+{\left(\frac{25}{4}\right)}^2\right)-{\left(\frac{25}{4}\right)}^2-150\right]\\ =-2\left[{\left(x-\frac{25}{4}\right)}^2-\frac{3025}{16}\right]\end{array}$$

Vì : $$-2{\left(x-\frac{25}{4}\right)}^2+2.\frac{3025}{16}\le \frac{3025}{8}$$

$$\begin{array}{l}\Rightarrow 1000000.-2\left[{\left(x-\frac{25}{4}\right)}^2-\frac{3025}{16}\right]\le 1000000.\frac{3025}{8}\\ \Rightarrow 1000000.-\left[{\left(x-\frac{15}{4}\right)}^2-\frac{3025}{16}\right]\le 378125000\end{array}$$

$$\Rightarrow S\le 378125000$$

$$\Rightarrow S_{\max }=378125000$$

Khi đó $$x=\frac{25}{4}=6,25$$(lần)

Vậy: Giá tour khi đó: $$2000000-100000.6,25=1375000$$ (đồng).