Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 6

Bảng tần số tương đối của biểu đồ trên là:                    

Môn thể thao nào được học sinh THCS của $1$ trường yêu thích nhất là môn bơi vì môn bơi chiếm $47\%$ các bạn yêu thích.

Không gian mẫu của phép thử là

$$\Omega =\left\{1;2;3;4;5;\dots ..;10\right\}$$.

Không gian mẫu có 10 phần tử.

Vì các phần của đĩa tròn giống nhau nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là $$2;3;5;7$$. Xác suất của biến cố A là  $P\left(A\right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$

Thay $x=9\left(TM\right)$ vào biểu thức A, ta có:

$A=\frac{\sqrt{9}+5}{2\sqrt{9}-4}=\frac{3+5}{2.3-4}=\frac{8}{2}=4$

Vậy $A=4$ khi $x=9$.

$B=\frac{x}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ với $x>0,x\ne 4$.

$\begin{array}{l}B=\frac{x+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ B=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\end{array}$

Ta có $P=\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-4}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}}$

Ta có $P>1\iff \frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}}-1>0\iff \frac{5-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0$ mà $2\sqrt{x}>0$ nên $5-\sqrt{x}>0\iff x<25$

Kết hợp với điều kiện $x>0,x\ne 4$ suy ra $0<x<25$, $x\ne 4$ mà x nguyên lớn nhất suy ra $x=24.$

Vậy $x=24$ thì $P>1$.

Gọi số tiền cô Linh đầu tư cho khoản thứ nhất và thứ hai lần lượt là $x;y$ (triệu đồng, $0<x;y<500$)

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 5\%.x+6\%.y=28\end{array}$

Giải được $\{\begin{array}{l}x=200\\ y=300\end{array}\left(tm\right)$

Vậy cô Linh đầu tư $200$ triệu vào khoản thứ nhất và $300$ triệu vào khoản thứ hai.

Gọi chiều dài, chiều rộng phòng hội trường trước khi sửa lần lượt là $x\left(m\right),y\left(m\right)$.

ĐK: $x,y>0,x>y$

Diện tích phòng hội đồng cũ là $xy\left(m^2\right)$

Nếu tăng chiều dài thêm $2m$ và tăng chiều rộng thêm $3m$ thì diện tích tăng thêm $90m^2$

Nên ta có phương trình $\left(x+2\right)\left(y+3\right)=xy+90$$\Rightarrow 3x+2y=84$        $\left(1\right)$

Tăng chiều dài thêm $3m$ và tăng chiều rộng thêm $2m$ thì diện tích tăng thêm $87m^2$

Nên ta có phương trình $\left(x+3\right)\left(y+2\right)=xy+87\Rightarrow 2x+3y=81$        $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x+2y=84\\ 2x+3y=81\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=84\\ y=81\end{array}$ ( thỏa mãn)

Vậy chiều dài, chiều rộng của phòng hội đồng là $84m$ và $81m$

PT có 2 nghiệm thỏa mãn ĐK đề bài khi  $$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{,}>0\\ x_1{x}_2\ne 0\end{array}$$\[\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{3}{2}\\2m + 4 \ne 0\end{array} \right.\] hay $$\{\begin{array}{l}m<-3/2\\ m\ne -2\end{array}$$ hay m < - $\frac{3}{2}$

 Thay x = $\sqrt{2}$ - 1 vào PT(1) . Tìm được m = - 5/2 (TMĐK)

Thay m = -5/2 vào $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1{x}_2=2m+4=-1\end{array}$$

 Tính được biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$= $$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-2}{-1}=2$$

Thể tích của một viên kẹo là

Thể tích của 10 viên kẹo sô-cô-la khoảng 335 cm3.

a)  = 900( vì KA là tiếp tuyến của (O) (gt))

 = 900( )

Suy ra tam giác KAO vuông tại A, tam giác KHO vuông tại H

 Nên A, H thuộc đường tròn đường kính OK

Vậy tứ giác $KAOH$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Các đỉnh $H,B,A$ cùng nhìn cạnh $OK$ dưới một góc vuông

 nên năm điểm $K,A,B,O,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OK$ suy ra  $\widehat{AHI}=\widehat{ABO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AO$).

 Xét tam giác $IAH$ và tam giác $IOB$ có:

 $\widehat{HIA}=\widehat{BIO}$ (đối đỉnh)

và $\widehat{AHI}=\widehat{ABO}$ ( cmt ).

Do đó .

c) Gọi $M$ là giao điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có $OA=OB=R$ nên OK là đường trung trực của AB, suy ra $AB\perp OK$ tại $M$ và $MA=MB$.

Ta có: $\Delta OMI\sim \Delta OHK(g.g)$ suy ra  $OI=\frac{OK.OM}{OH}=\frac{O{A}^2}{OH}=\frac{R^2}{OH}=\frac{R^2}{R\sqrt{3}}=\frac{R}{\sqrt{3}}$.

Xét $\Delta OAK$ vuông tại $A$, có $O{A}^2=OM\cdot OK\iff OM=\frac{O{A}^2}{OK}=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}$

Suy ra $KM=OK-OM=2R-\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}$

$A{M}^2=OM\cdot KM=\frac{R}{2}\cdot \frac{3R}{2}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow AM=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Xét $\Delta OMI$ vuông tại $M$, có $MI=\sqrt{O{I}^2-O{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{R}{\sqrt{3}}\right)}^2-{\left(\frac{R}{2}\right)}^2}=\frac{R\sqrt{3}}{6}$

Suy ra $AI=AM+MI=\frac{R\sqrt{3}}{2}+\frac{R\sqrt{3}}{6}=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Diện tích $\Delta AKI$ là $S=\frac{1}{2}AI\cdot KM=\frac{1}{2}\cdot \frac{3R}{2}\cdot \frac{2R\sqrt{3}}{3}=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}$.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt$CJ=x,(x>0).$

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên:

$\frac{CJ}{AK}=\frac{JA}{KB}\iff \frac{x}{5}=\frac{12}{KB}\iff KB=\frac{60}{x}.$

Diện tích của khu nuôi cá là:$S=\frac{1}{2}\left(x+5\right).\left(\frac{60}{x}+12\right).$

$\iff S(x)=\frac{1}{2}\left(60+12x+\frac{300}{x}+60\right)\iff S(x)=6x+\frac{150}{x}+60$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: $6x+\frac{150}{x}\ge 2\sqrt{6x.\frac{150}{x}}=60$

           Dấu bằng xảy ra khi $6x=\frac{150}{x}\iff x^2=25\iff x=5$.

           Nên                 $S(x)=6x+\frac{150}{x}+60\ge 60+60=120$

           Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là $120(m^2)$,  đạt được khi $x=5m$.