Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 7

1) Số học sinh bình chọn cho Tuấn là $\frac{500\cdot 30\%}{100\%}=150$ (học sinh)

Số học sinh bình chọn cho Trường là $\frac{500\cdot 25\%}{100\%}=125$ (học sinh)

Số học sinh bình chọn cho An là $\frac{500\cdot 10\%}{100\%}=50$ (học sinh)

Số học sinh bình chọn cho Linh là $\frac{500\cdot 35\%}{100\%}=175$ (học sinh)

Ta có bảng tần số

 2) Tổng số học sinh bình chọn cho Tuấn và Trường là $150+125=275$

Xác suất cầu thủ được chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường có tên bắt đầu bởi chữ cái “$T$” là $\frac{275}{500}=0,55$.

Vậy xác suất tìm được là $0,55$

Thay $x=36$(tmđk) vào $A$ ta được $A=\frac{36-5}{\sqrt{36}}=\frac{31}{6}$

Vậy $A=\frac{31}{6}$khi $x=36$

$B=\frac{2x+2\sqrt{x}}{x-1}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ với $x>0,x\ne 1$.

$$B=\frac{2x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

$$B=\frac{x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$$

Vậy $$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$$ , $x>0,x\ne 1$

Tìm tất cả giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P=AB$ có giá trị nguyên

$$P=\frac{x-5}{\sqrt{x}-1}$$

$$P=\frac{x-5}{\sqrt{x}-1}=0\Rightarrow x=5\left(tm\right)$$

$$P\ne 0,x\in Z,\sqrt{x}\in I\Rightarrow P\notin Z$$

$$P=\sqrt{x}+1-\frac{4}{\sqrt{x}-1}\ne 0,x\in Z,\sqrt{x}\in Z\Rightarrow \sqrt{x}-1\in U\left(4\right)$$

$$x\in \left\{4;9;25\right\}$$ (tmđk)

Vậy $$x\in \left\{4;5;9;25\right\}$$

Gọi khối lượng dung dịch $X$ và $Y$ lần lượt là $x,y$( g) điều kiện $x>0,y>0$

Nồng độ muối trong dung dịch $X$ là $\frac{5}{x}\cdot 100\%$

Nồng độ muối trong dung dịch $Y$ là $\frac{4,8}{x}\cdot 100\%$

Khối lượng hai dung dịch là $220$ gam nên $x+y=220$(g) (1)

Nồng độ muối trong dung dịch $X$ nhiêu hơn nồng độ muối trong dung dịch $Y$ là $1\%$ nên

$\frac{5}{x}.100\%-\frac{4,8}{y}.100\%=1\%$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ $\{\begin{array}{l}x+y=220\\ \frac{5}{x}.100\%-\frac{4,8}{y}.100\%=1\%\end{array}$

Suy ra $x=100,y=120$

Vậy khối lượng dung dịch $X$ và $Y$ lần lượt là $100(\mathrm{g}),120(\mathrm{g})$

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội $A$ là $x$ (ngày),$\left(x>0\right)$;

Thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội $B$ là $y$  (ngày), $\left(y>0\right)$.

Ta có mỗi ngày đội $$A$$ làm được $\frac{1}{x}$ công việc; mỗi ngày đội $$B$$ làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Vì hai đội công nhân cùng làm một công việc trong $$24$$ ngày thì xong nên mỗi ngày hai đội làm được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$ (công việc).

Vì đội $$A$$ làm trong $$10$$ ngày và đội $$B$$ làm trong $$12$$ ngày thì được $\frac{9}{20}$ công việc nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}.10+\frac{1}{y}.12=\frac{9}{20}$.

Vậy ta có hệ: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}\\ \frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{9}{20}\end{array}$. Giải hệ ta được $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{40}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{60}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=40\\ y=60\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy đội $$A$$ làm riêng hoàn thành công việc trong $$40$$ ngày, đội $$B$$ làm riêng hoàn thành công việc trong $$60$$ ngày.

Xét phương trình: $x^2-2\left(m-1\right)x-m-3=0$ (1).

(1) có ${\Delta }^{\prime }={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-1.\left(-m-3\right)=m^2-2m+1+m+3=m^2-m+4={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}>0$ với mọi $m$Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Với mọi $m$ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-m-3\end{array}$$ .

$\Rightarrow A=x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left[2\left(m-1\right)\right]}^2-2\left(-m-3\right)=4m^2-8m+4+2m+6=4m^2-6m+10$ $={\left(2m-\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+10={\left(2m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{31}{4}\ge \frac{31}{4}$ với mọi $m$.

Vậy $\min A=\frac{31}{4}$ khi $m=\frac{3}{4}$.

Gọi chiều rộng của đáy hộp là $x$( $x>0$, cm).

Ta có chiều dài của hộp là $\frac{500}{2x}$ (cm)

Ta có diện tích toàn phần của chiếc hộp là

$S=2x\cdot \frac{500}{2x}+2\left(x+\frac{500}{2x}\right)\cdot 2=500+2x+\frac{250}{x}$ (cm2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương $2x$ và $\frac{250}{x}$, ta có

$2x+\frac{250}{x}\ge 2\sqrt{2x\cdot \frac{250}{x}}=20\sqrt{5}$

Từ đó  $S\ge 500+20\sqrt{5}$ (cm2)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi $2x=\frac{250}{x}$ hay $x^2=\frac{250}{2}=125$

Suy ra $x=5\sqrt{5}$cm, từ đó $\frac{250}{5\sqrt{5}}=10\sqrt{5}$cm.

Vậy chiều rộng của hộp là $5\sqrt{5}$cm, chiều dài là $10\sqrt{5}$cm.

Chứng minh bổ sung Bất đẳng thức Cauchy

Xét hai số thực dương $a$, $b$ta có $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.

Thật vậy, vì $a$, $b$ là các số thực dương nên

Từ $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$, suy ra $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Hay ${\left(\sqrt{a}\right)}^2+{\left(\sqrt{b}\right)}^2-2\sqrt{ab}\ge 0$

 ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

Vậy với hai số thực dương $a$, $b$ bất kỳ ta có $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b$