Đề thi minh họa môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026

Ta có:

⦁ $$a=\sqrt{75}+2\sqrt{\frac{3}{4}}-3\sqrt{48}=\sqrt{25\cdot 3}+2\sqrt{\frac{3}{2^2}}-3\sqrt{16\cdot 3}$$

 $$=5\sqrt{3}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-3\cdot 4\sqrt{3}=5\sqrt{3}+\sqrt{3}-12\sqrt{3}=-6\sqrt{3}.$$

⦁ $b=\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{125}-\frac{1}{7}\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{3^3}+\sqrt[3]{5^3}-\frac{1}{7}\sqrt[3]{7^3}=3+5-\frac{1}{7}\cdot 7=7.$

Khi đó $A=a^2-b={\left(-6\sqrt{3}\right)}^2-7=108-8=101.$

Với $x\ge 0,x\ne 1,$ ta có:

$B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{1-x}\right):\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$

 $=\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$

 $$=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$$

 $$=\frac{x+\sqrt{x}+\sqrt{x}-1+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$$

 $$=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$$

 $$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$$$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.$$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 1$ thì $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.$

Xét phương trình $x^2-5x+3=0$.

Ta có $\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=13>0$ nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ x_1\cdot x_2=3\end{array}.$

Ta có: $x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=5^2-2\cdot 3=19.$

Gọi số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A lần lượt là $$x,y$$ (học sinh) $(x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $x,y<35).$

Vì lớp 9A có 35 học sinh nên ta có phương trình: $x+y=35$ (1)

Số học sinh nam không chơi môn thể thao Pickleball là $$25\%x=0,25x$$ (học sinh).

Số học sinh nữ không chơi môn thể thao Pickleball là $$20\%x=0,2x$$ (học sinh).

Vì số học sinh không chơi môn thể thao Pickleball là 8 nên ta có $$0,25x+0,2y=8$$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=35\\ 0,25x+0,2y=8\end{array}$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta giải được hệ phương trình trên có nghiệm là: $\{\begin{array}{l}x=20\\ y=15\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy số học sinh nữ không chơi môn thể thao Pickleball là $0,2\cdot 15=3$ (học sinh).

Vì $MA,MD$ là các tiếp tuyến của $\left(O_1\right)$ nên $M{O}_1$ là phân giác của $\widehat{AMD}.$

Suy ra $\widehat{AM{O}_1}=\frac{1}{2}\widehat{AMB}=\frac{1}{2}60^{\circ }=30^{\circ }.$

Do $MA$ là tiếp tuyến của $\left(O_1\right)$ nên $MA\perp O_{1}A.$

Xét $\Delta MA{O}_1$ vuông tại $A,$ ta có: $\widehat{AM{O}_1}+\widehat{A{O}_{1}M}=90^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat{A{O}_{1}M}=90^{\circ }-\widehat{AM{O}_1}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$

Vì $MA,MD$ là các tiếp tuyến của $\left(O_1\right)$ nên $O_{1}M$ là phân giác của $\widehat{A{O}_{1}D}.$

Suy ra $\widehat{A{O}_{1}D}=2\widehat{A{O}_{1}M}=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }.$

Do đó số đo cung nhỏ  là

Như vậy, số đo cung lớn  của đường tròn $\left(O_1\right)$ là

Ta có số đo cung lớn  của đường tròn $\left(O_1\right)$ là $240^{\circ }$ nên độ dài cung lớn  của đường tròn $\left(O_1\right)$ là: $l_1=\frac{\pi \cdot 40\cdot 240}{180}=\frac{160\pi }{3}(\mathrm{cm}).$

Tương tự câu 1, trong đường tròn $\left(O_2\right)$ ta có:  nên độ dài cung nhỏ  của đường tròn $\left(O_2\right)$ là: $l_2=\frac{\pi \cdot 10\cdot 120}{180}=\frac{20\pi }{3}(\mathrm{cm}).$

Xét $\Delta M{O}_{1}A$ và $\Delta M{O}_{2}B$ có: $\widehat{MA{O}_1}=\widehat{MB{O}_2}=90^{\circ }$ và $\widehat{AM{O}_1}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{MA}{MB}=\frac{O_{1}A}{O_{2}B}=\frac{40}{10}=4.$

Nên $MA=4MB,$ suy ra $AB=3MB.$

Xét $\Delta M{O}_{2}B$ vuông tại$B,$ ta có:

$MB=O_{2}B\cdot \cot \widehat{BM{O}_2}=O_{2}B\cdot \cot 30^{\circ }=10\cdot \tan 60^{\circ }=10\sqrt{3}(\mathrm{cm}).$

Do đó $AB=3MB=3\cdot 10\sqrt{3}=30\sqrt{3}(\mathrm{cm}).$

Vậy độ dài của dây cua-roa là

$2AB+l_1+l_2=2\cdot 30\sqrt{3}+\frac{160\pi }{3}+\frac{20\pi }{3}=60\left(\pi +\sqrt{3}\right)(\mathrm{cm}).$

Ta có số thí sinh có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8 là $11+5=16.$

Chọn 1 thí sinh trong 16 thí sinh, không gian mẫu có 16 phần tử.

Gọi $$A$$ là biến cố “Thí sinh của Câu lạc bộ Toán học không được chọn”.

Số thí sinh không thuộc Câu lạc bộ Toán học có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8 là $16-3=13.$

Chọn 1 thí sinh trong 13 thí sinh này. Có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố $$A.$$

Vậy $P\left(A\right)=\frac{13}{16}.$

Kí hiệu 2 thí $\sinh$ nữ là $G_1$ và $G_2,$ thí $\sinh$ nam là $$B.$$

Ta có không gian mẫu là: $$\Omega =\left\{G_1{G}_{2}B;G_{1}B{G}_2;G_2{G}_{1}B;G_{2}B{G}_1;B{G}_1{G}_2;B{G}_2{G}_1\right\}.$$

Không gian mẫu có 6 phần tử.

Gọi $$B$$ là biến cố “Hai học nữ không đứng cạnh nhau”.

Ta có $B=\left\{G_{1}B{G}_2;G_{2}B{G}_1\right\},$ có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố $$B.$$

Vậy $P\left(B\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$