Đề thi môn Toán vào lớp 10 năm 2020 - 2021 có đáp án (Trắc nghiệm - Tự luận - Đề 1)

a, 

b) a, b là 2 nghiệm của phương trình $x^2-3x+1=0$ nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

Thay vào biểu thức: P =  = 3

Vậy giá trị của P là một số nguyên dương

a) y = (m – 1)x + 2m – 1

Gọi M $\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 đi qua với mọi m

=> $y_0$ = (m - 1) $x_0$ + 2m - 1 ⇔ ($x_0$ + 2)m - ($y_0$+$x_0$+ 1)=0 (*)

Để đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 luôn đi qua M $\left(x_0;y_0\right)$ với mọi m thì phương trình (*) nghiệm đúng với mọi m

Vậy đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 luôn đi qua M (–2; 1)

b) Để đường thẳng (d): y = mx + 1 đi qua điểm A (3; 7), thì A ∈ d :

7 = m.3 + 1 ⇔ m = 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$2x^2=mx+1\iff 2x^2-mx-1=0$

Δ = $m^2$ - 4.2.(-1) = $m^2$ + 8 > 0

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Theo định lí Vi-et, ta có:

Theo bài ra:

T = $x_1{x}_2+y_1{y}_2=x_1{x}_2+\left(m{x}_1+1\right)\left(m{x}_2+1\right)$

= $x_1{x}_2+m\left(x_1+x_2\right)+m^2{x}_1{x}_2+1$

Vậy T = 1/2

a, ĐKXĐ: y ≠ 3

HPT 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (–4/7; –2)

b, $3x^4+x^2-4=0$

Đặt $x^2$ = t (t ≥ 0), phương trình trở thành:

$3t^2+t-4=0$

Phương trình có dạng a + b + c = 3 + 1 – 4 = 0. Do đó, phương trình có hai nghiệm 

Với t = 1 => $x^2$ =1 ⇔ x = ± 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = ± 1

a, Ta có: BC là dây cung, I là trung điểm của BC

=> OI ⊥ BC

Xét tứ giác SAOI có:

∠SAO = ${90}^0$ (Do SA là tiếp tuyến của (O))

∠SOI = ${90}^0$ (OI ⊥ BC)

=> ∠SAO + ∠SOI = ${180}^0$

=> Tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp

b, Tam giác AOD cân tại O có OH là đường cao

=> OH cũng là trung trực của AD

=> SO là trung trực của AD

=> SA = SA => ΔSAD cân tại S

=> ∠SAD = ∠SDA

Ta có:

$\left(\begin{array}{c}\angle SAD=\angle SDA\\ \angle OAD=\angle ODA\end{array}\right)$ => ∠SAD + ∠OAD = ∠SDA + ∠ODA

⇔ ∠SAO = ∠SDO ⇔ ∠SDO = ${90}^0$

Vậy SD là trung tuyến của (O)

c, Xét ΔSAB và ΔSCA có:

∠ASC là góc chung

∠SAB = ∠ACB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

=> ΔSAB ∼ ΔSCA

=> $\frac{SA}{SC}$ = $\frac{SB}{SA}$

=> $SB.SC=S{A}^2$ (1)

ΔSAO vuông tại O có AH là đường cao

=> $S{A}^2=SH.SO$ (2)

Xét ΔSKH và ΔSOI có:

∠OSI là góc chung

∠SHK = ∠SIO = ${90}^0$

=> ΔSKH ∼ ΔSOI

=> $\frac{SK}{SO}$ = $\frac{SH}{SI}$ => SK.SI = SH.SO (3)

Từ (1), (2) và (3) => SK.SI = SB.SC

d, Ta có: ∠PMQ = ${90}^0$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> PS ⊥ MQ

Xét ΔSAM và ΔSPA có:

∠ASP là góc chung

∠SAM = ∠SPA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)

=> ΔSAM ∼ ΔSPA

=> $\frac{SA}{SP}$ = $\frac{SM}{SA}$ => $SP.SM=S{A}^2$

Do đó ta có:

SP.SM = SK.SI <=> $\frac{SM}{SI}$ = $\frac{SK}{SP}$

Xét ΔSKM và ΔSPI có:

$\frac{SM}{SI}$ = $\frac{SK}{SP}$

∠ISP là góc chung

=> ΔSKM ∼ ΔSPI

=> ∠SMK = ∠SIP = ${90}^0$ => MK ⊥ SP

Ta có: PS ⊥ MQ ; MK ⊥ SP => M;Q;K thẳng hàng

Áp dụng bất đẳng thức Co- si, ta được:

=> $a^5+b^5+c^5$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$ ≥ $2\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Mặt khác: 

=> $a^2+b^2+c^2$ ≥ 2 (a + b + c)-3 = 2 . 3 - 3 = 3

=> $a^5+b^5+c^5$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$ ≥ 2.3 = 6

Vậy ta được điều phải chứng minh