Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bắc Giang

Để đồ thị của hàm số $y=\left(m-1\right)x^2\left(m\ne 1\right)$ đi qua điểm $A\left(-1;2\right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đó.

Thay $x=-1,y=2$ vào hàm số $y=\left(m-1\right)x^2,$ ta được:

$2=\left(m-1\right)\cdot {\left(-1\right)}^2$ hay $m-1=2,$ nên $m=3$ (thỏa mãn).

Vậy $m=3.$

Với $x>0,x\ne 4,$ ta có:

$A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{2}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{4-x}\right):\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$

 $=\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{2}{\sqrt{x}+2}-\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right]\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

 $=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right]\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

 $=\frac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

 $=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

 $$=\frac{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2\cdot \sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot \left(\sqrt{x}-2\right)}$$

 $$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.$$

Vậy với $x>0,x\ne 4$ thì $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.$

Giải bất phương trình:

$3-4x<0$

$-4x<-3$

$x>\frac{3}{4}.$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x>\frac{3}{4}.$

Khi $m=-1,$ ta có phương trình $x^2+3x-4=0.$

Phương trình trên có $a=1,b=3,c=-4$ nên $a+b+c=1+3-4=0.$

Khi đó, phương trình này có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=-4.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x_1=1;x_2=-4.$

Xét phương trình $x^2-\left(m-2\right)x+m-3=0\left(1\right)$

⦁ Phương trình (1) có

$$\Delta ={\left[-\left(m-2\right)\right]}^2-4\left(m-3\right)=m^2-4m+4-4m+12=m^2-8m+16={\left(m-4\right)}^2\ge 0$$ với mọi $m.$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0,$ tức là $${\left(m-4\right)}^2>0,$$ suy ra $${\left(m-4\right)}^2\ne 0$$ nên $m-4\ne 0$ hay $m\ne 4.$

Với $m\ne 4,$ phương trình $$\left(1\right)$$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn định lí Viète:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-2\left(2\right)\\ x_1{x}_2=m-3\left(3\right)\end{array}$

⦁ Cách 1. Từ $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-2\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$ ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-1=m-3\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$

Suy ra $x_1+x_2-1=x_1{x}_2$

$\left(x_1-x_1{x}_2\right)+\left(x_2-1\right)=0$

$$x_1\left(x_2-1\right)+\left(x_2-1\right)=0$$

$\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)=0$

$x_2-1=0$ hoặc $x_1-1=0$

$x_2=1$ hoặc $x_1=1.$

Trường hợp 1. Nếu $x_2=1$ thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+1=m-2\\ x_1\cdot 1=m-3\end{array}$ suy ra $x_1=m-3.$

Theo bài, ta có: $3x_1=x_2^2+2$

$3\left(m-3\right)=1^2+2$

$m-3=1$

$m=4$ (không thỏa mãn $m\ne 4).$

Trường hợp 2. Nếu $x_1=1$ thì $\{\begin{array}{l}1+x_2=m-2\\ 1\cdot x_2=m-3\end{array}$ suy ra $x_2=m-3.$

Theo bài, ta có: $3x_1=x_2^2+2$

$3\cdot 1={\left(m-3\right)}^2+2$

${\left(m-3\right)}^2=1$

$m-3=1$ hoặc $m-3=-1$

$m=4$ (không thỏa mãn $m\ne 4)$ hoặc $m=2$ (thỏa mãn $m\ne 4).$

Vậy $m=2.$

Cách 2. Do $x_2$ là một nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $x_2^2-\left(m-2\right)x_2+m-3,$ suy ra $x_2^2=\left(m-2\right)x_2-m+3.$

Theo bài, $3x_1=x_2^2+2$ nên ta có $3x_1=\left(m-2\right)x_2-m+3+2$ hay $3x_1=\left(m-2\right)x_2-m+5.\left(\ast \right)$

Từ (2), ta có $x_1=m-2-x_2,$ thay vào (*), ta được:

$$3\left(m-2-x_2\right)=\left(m-2\right)x_2-m+5$$

$$3m-6-3x_2=\left(m-2\right)x_2-m+5$$

$$\left(m+1\right)x_2=4m-11\left(\ast \ast \right)$$

Nếu $m=-1,$ phương trình $\left(\ast \ast \right)$ trở thành $0x_2=-15$ (phương trình này vô nghiệm).

Như vậy, $m=-1$ không thỏa mãn.

Nếu $m\ne -1,$ thì phương trình $\left(\ast \ast \right)$ có nghiệm $$x_2=\frac{4m-11}{m+1}.$$

Khi đó, $$x_1=m-2-\frac{4m-11}{m+1}=\frac{m^2+m-2m-2-4m+11}{m+1}=\frac{m^2-5m+9}{m+1}.$$

Thay $$x_1=\frac{m^2-5m+9}{m+1}$$ và $$x_2=\frac{4m-11}{m+1}$$ vào $\left(3\right),$ ta được:

$$\frac{m^2-5m+9}{m+1}\cdot \frac{4m-11}{m+1}=m-3$$

$$\left(m^2-5m+9\right)\left(4m-11\right)=\left(m-3\right){\left(m+1\right)}^2$$

$4m^3-11m^2-20m^2+55m+36m-99=\left(m-3\right)\left(m^2+2m+1\right)$

$4m^3-31m^2+91m-99=m^3+2m^2+m-3m^2-6m-3$

$3m^3-30m^2+96m-96=0$

$\left(3m^3-6m^2\right)-\left(24m^2-48m\right)+\left(48m-96\right)=0$

$3m^2\left(m-2\right)-24m\left(m-2\right)+48\left(m-2\right)=0$

$\left(m-2\right)\left(3m^2-24m+48\right)=0$

$\left(m-2\right)\cdot 3\left(m^2-8m+16\right)=0$

$3\left(m-2\right){\left(m-4\right)}^2=0$

$m-2=0$ hoặc ${\left(m-4\right)}^2=0$

$m=2$ (thỏa mãn $m\ne -1,m\ne 4)$ hoặc $m=4$ (không thỏa mãn $m\ne 4).$

Vậy $m=2.$

Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega =\left\{\left(10,11\right);\left(10,13\right);\left(10,15\right);\left(12,11\right);\left(12,13\right);\left(12,15\right);\left(14,11\right);\left(14,13\right);\left(14,15\right)\right\}.$

Không gian mẫu có 9 phần tử.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $\left(12,11\right);\left(14,11\right);\left(14,13\right).$

Vậy xác suất của biến cố B là: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$

Vì điểm $M$ nằm trên đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$ nên $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $\widehat{AMP}=90^{\circ }.$

$\Delta AMP$ vuông tại $M$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AP.$ Do đó ba điểm $A,M,P$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AP.$

$\Delta ACP$ vuông tại $C$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AP.$ Do đó ba điểm $A,M,C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AP.$

Như vậy, bốn điểm $A,C,P,M$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AP.$

Vậy tứ giác $ACPM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AP.$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta PBC$ có: $\widehat{AMB}=\widehat{PCB}=90^{\circ }$ và $\widehat{CBP}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{AB}{PB}=\frac{BM}{BC}$ hay $BM\cdot BP=AB\cdot BC.$

Mà $BC=AB+AC=2R+R=3R.$

Suy ra $BM\cdot BP=AB\cdot BC=2R\cdot 3R=6R^2.$

Gọi $K$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó, $KC=KB.$ (1)

Do $G$ là trọng tâm của $\Delta MBC$ nên $\frac{MG}{MK}=\frac{2}{3}$ và $\frac{KG}{KM}=\frac{1}{3}.$

Ta có $KC=KA+CA=KA+R$ và $KB=KO+OB=KO+R.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $KA=KO.$ Do đó $K$ là trung điểm của $AO$ nên $KA=KO=\frac{1}{2}AO.$ (3)

Gọi $E,I$ là các điểm thuộc đoạn $AO$ sao cho $AE=EI=IO=\frac{1}{3}AO.$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{AE}{AK}=\frac{\frac{1}{3}AO}{\frac{1}{2}AO}=\frac{2}{3}.$

Xét $\Delta AKM$ có $\frac{AE}{AK}=\frac{MG}{MK}=\frac{2}{3}$ nên $EG//AM$ (định lí Thalès đảo).

Lại có $AM\perp BM$ nên $EG\perp BM.$ (5)

Ta có $$KB=KO+OB=KO+OA=KO+2KO=3KO$$ nên $\frac{KO}{KB}=\frac{1}{3}.$

Xét $\Delta BKM$ có $\frac{KO}{KB}=\frac{KG}{KM}=\frac{1}{3}$ nên $OG//BM$ (định lí Thalès đảo). (6)

Từ (5) và (6) suy ra $EG\perp OG$ hay $$\widehat{EGO}=90^{\circ }.$$

Xét $\Delta EGO$ vuông tại $G$ có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $EO$ nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta EGO$ có tâm là $I$ và bán kính bằng $\frac{EO}{2}.$

Do $AB$ cố định nên $O,E,I$ cố định.

Như vậy, điểm $G$ nằm trên đường tròn đường kính $EO$ cố định.

Gọi $x(\mathrm{m})$ là chiều rộng của đáy bể hình hộp chữ nhật $$\left(x>0\right).$$

Khi đó, chiều dài của đáy bể hình hộp chữ nhật là $2x(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy bể hình hộp chữ nhật là: $$x\cdot 2x=2x^2({\mathrm{m}}^2).$$

Chiều cao của bể nước hình hộp chữ nhật đó là: $\frac{9}{2x^2}(\mathrm{m}).$

Diện tích xung quanh của bể nước hình hộp chữ nhật là: $2\left(x+2x\right)\cdot \frac{9}{2x^2}=\frac{54x}{2x^2}=\frac{27}{x}({\mathrm{m}}^2).$

Diện tích mặt đáy và nắp đậy của bể nước hình hộp chữ nhật là: $2\cdot 2x^2=4x^2({\mathrm{m}}^2).$

Diện tích cần xây (diện tích toàn phần của bể nước) là: $S=\frac{27}{x}+4x^2({\mathrm{m}}^2).$

Như vậy, yêu cầu bài toán đưa về việc tìm giá trị nhỏ nhất của $S.$

Ta có: $S=\frac{27}{x}+4x^2=\frac{27}{2x}+\frac{27}{2x}+4x^2.$

Do $x>0$ nên $\frac{27}{2x}>0$ và $4x^2>0,$ áp dụng định lí Cauchy cho ba số dương ta được:

$S=\frac{27}{2x}+\frac{27}{2x}+4x^2\ge \sqrt[3]{\frac{27}{2x}\cdot \frac{27}{2x}\cdot 4x^2}=9.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{27}{2x}=\frac{27}{2x}=4x^2,$ tức là $8x^3=27$ hay $x=\frac{3}{2}=1,5$ (thỏa mãn).

Do đó, diện tích xây bể nhỏ nhất là $27({\mathrm{m}}^2)$ khi $$x=1,5(\mathrm{m}).$$

Chi phí thấp nhất để xây bể lúc này là: $27\cdot 550000=14850000$ (đồng).

Vậy bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với chiều rộng là $1,5\mathrm{m},$ chiều dài là $$2\cdot 1,5=3(\mathrm{m}),$$ chiều cao là $\frac{9}{2\cdot 1,5^2}=2(\mathrm{m}).$