Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Quảng Ninh

Với $$x\ge 0,x\ne 4,$$ ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{x}{x-4}$

$=\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2-x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{2\sqrt{x}-x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$=\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.$

Xét phương trình $$\{\begin{array}{l}3x-y=9\left(1\right)\\ 5x+2y=4\left(2\right)\end{array}$$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}6x-2y=18\left(3\right)\\ 5x+2y=4\left(2\right)\end{array}$$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được phương trình:

$11x=22,$ suy ra $x=2.$

Thay $x=2$ vào phương trình (1), ta được: $3\cdot 2-y=9,$ suy ra $y=-3.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(2;-3\right).$

Giải bất phương trình:

$\frac{5x+3}{4}<\frac{4x-5}{3}$

$$\frac{3\left(5x+3\right)}{12}<\frac{4\left(4x-5\right)}{12}$$

$$3\left(5x+3\right)<4\left(4x-5\right)$$

$$15x+9<16x-20$$

$-x<-29$

$$x>29.$$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $$x>29.$$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=7\\ x_1{x}_2=2.\end{array}$

Vì $$x_1$$ là nghiệm của phương trình đã cho nên  $${x_1}^2-7x_1+2=0$$ hay $${x_1}^2=7x_1-2.$$

Do đó $$x_1^2+7x_2=7x_1-2+7x_2=7\left(x_1+x_2\right)-2=7\cdot 7-2=47.$$

Ta có $$x_1^3+x_2^3=x_1^3+3x_1^2{x}_2+3x_1{x}_2^2+x_2^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)$$

$$=7^3-3\cdot 2\cdot 7=301.$$

Vậy $$\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^2+7x_2}=\frac{301}{47}.$$

Gọi vận tốc của xe tải là $$x$$ km/h (điều kiện $x>0).$

Vận tốc của xe con là $x+10$ (km/h).

Thời gian đi từ $$A$$ đến $$B$$ của xe tải, xe con lần lượt là $\frac{200}{x}$ giờ và $\frac{200}{x+10}$ giờ.

Vì xe tải xuất phát trước xe con 40 phút $=\frac{2}{3}$ giờ và hai xe đến $$B$$ cùng lúc nên ta có phương trình $\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}=\frac{2}{3}$.

Giải phương trình:

$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}=\frac{2}{3}$

$\frac{200\left(x+10\right)-200x}{x\left(x+10\right)}=\frac{2}{3}$

$\frac{200x+2000-200x}{x\left(x+10\right)}=\frac{2}{3}$

$\frac{2000}{x\left(x+10\right)}=\frac{2}{3}$

$2x\left(x+10\right)=3\cdot 2000$

$x^2+10x-3000=0.$

Giải phương trình được $x_1=-60$ (không thỏa mãn), $x_2=50$(thỏa mãn).

Thời gian xe tải đi từ $$A$$ đến $$B$$ là $4$ giờ.

Vậy hai xe đến $$B$$ lúc 12 giờ.

Xét nửa đường tròn $\left(O\right)$ có $\widehat{CBM}$ và $\widehat{ABM}$ lần lượt là hai góc nội tiếp chắn và

Mà nên $\widehat{CBM}=\widehat{ABM}$ hay BM là phân giác của $\widehat{ABC}.$

⦁ Xét $\Delta AEF$ có $\widehat{PFA}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh $F$ nên $\widehat{PFA}=\widehat{FAE}+\widehat{FEA}$ (1)

Lại có $\widehat{FAE}=\widehat{FBM}$ (hai góc nội tiếp nửa đường tròn $$\left(O\right)$$ cùng chắn và $\widehat{FBM}=\widehat{FEH}$ (hai góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp $\Delta BEH$ cùng chắn suy ra $\widehat{FAE}=\widehat{FEH}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{PFA}=\widehat{FAE}+\widehat{FEA}=\widehat{FEH}+\widehat{FEA}=\widehat{HEA}$ (3)

⦁ Theo ý 2), ta có $M{E}^2=MH\cdot MB$ nên $\frac{ME}{MH}=\frac{MB}{ME}.$

Xét $\Delta MHE$ và $\Delta MEB$ có: $\widehat{EMH}=\widehat{BME}=90^{\circ }$ và $\frac{ME}{MH}=\frac{MB}{ME}$

Do đó (c.g.c). Suy ra $\widehat{MEH}=\widehat{MBE}$ (hai góc tương ứng).

Mà theo chứng minh phần 1), ta có $\widehat{MBE}=\widehat{MBA}$ suy ra $\widehat{MBA}=\widehat{MEH}=\widehat{HEA}\left(4\right)$

Từ (3), (4) ta được $\widehat{PFA}=\widehat{MBA}$.

Xét $\Delta AFP$ và $\Delta ABQ$ có: $\widehat{PFA}=\widehat{MBA}$ và $\hat{A}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{AP}{AQ}=\frac{AF}{AB}$ hay $\frac{AP}{AF}=\frac{AQ}{AB}.$

Xét $\Delta AQP$ và $\Delta ABF$ có: $\frac{AP}{AF}=\frac{AQ}{AB}$ và $\hat{A}$ là góc chung

Do đó  (c.g.c).

Suy ra $\widehat{QPA}=\widehat{BFA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BFA}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left(O\right))$ nên $\widehat{QPA}=90^{\circ }$ hay $$QP\perp AB.$$

Gọi thời gian từ khi người đó xuất phát đến lúc gặp ô tô là $$t$$ (giây) (điều kiện $t>0).$

Gọi vận tốc của người đón xe là $$v$$ (m/s).

Giả sử hai người gặp nhau tại $$C.$$ Kẻ $$AK\perp BC.$$ Ta có $$AC=10t(\mathrm{m}),BC=vt(\mathrm{m}).$$

Xét $\Delta ABC$ có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BH\cdot AC=\frac{1}{2}AK\cdot BC$

Suy ra $$AK\cdot BC=BH\cdot AC$$ hay $$AK\cdot vt=50\cdot 10t$$ suy ra $v=\frac{500}{AK}$.

Do đó $$v$$ nhỏ nhất khi $$AK$$ lớn nhất.

Lại có $AK\le AB,$ dấu bằng khi $$AK$$ trùng với $$AB,$$ mà $$AB$$ không đổi nên $$v$$ nhỏ nhất khi $$AK$$ trùng với $$AB$$ hay $$BC\perp BA.$$

Vậy người đó chạy theo hướng vuông góc với $$AB$$ với vận tốc tối thiểu là $\frac{500}{200}=2,5$ (m/s).