Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}.$

Vậy khi $x=25$ thì $A=\frac{7}{13}.$

Với $x\ge 0,x\ne 9,$ ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

 $=\frac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

 $$=\frac{x-3\sqrt{x}+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+8\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

 $$=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}.$$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 9$ thì $$B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}.$$

Với $x\ge 0,x\ne 9,$ ta có: $P=AB=\frac{7}{\sqrt{x}+8}\cdot \frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}.$

Với $x\ge 0,x\ne 9,$ ta có: $\sqrt{x}\ge 0,$ suy ra $\sqrt{x}+3\ge 3$ nên $\frac{7}{\sqrt{x}+3}\le \frac{7}{3}$ hay $P\le \frac{7}{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=0$ (thỏa mãn).

Vậy biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{7}{3}$ khi $x=0.$

Gọi $x,y$ lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình $\left(x>0,y>0\right).$

Trong một ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{12}$ công việc. Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.\left(1\right)$

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được $4\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được $14\cdot \frac{1}{y}=\frac{14}{y}$ (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: $\frac{1}{3}+\frac{14}{y}=1$ hay $\frac{14}{y}=\frac{2}{3}.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(1\right)\\ \frac{14}{y}=\frac{2}{3}\left(2\right)\end{array}$

Từ phương trình (2) suy ra $y=\frac{14\cdot 3}{2}=21$ (thỏa mãn).

Thay $y=21$ vào phương trình (1), ta được:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{21}=\frac{1}{12},$ suy ra $\frac{1}{x}=\frac{1}{28}$ nên $x=28$ (thỏa mãn).

Xét phương trình $x^2-3x+2m=0$ có $\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2m=9-8m.$

Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì $\Delta >0,$ tức là $9-8m>0$ hay $m<\frac{9}{8}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1{x}_2=2m.\end{array}$

Theo bài, $x_1^2+x_2^2=5$

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=5$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=5$

$3^2-2\cdot 2m=5$

$9-4m=5$

$4m=4$

$m=1$ (thỏa mãn $m<\frac{9}{8}).$

Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tần số tương đối của điểm 7 là: $\frac{6}{40}\cdot 100\%=15\%.$

Tần số tương đối của điểm 8 là: $\frac{14}{40}\cdot 100\%=35\%.$

Tần số tương đối của điểm 9 là: $\frac{16}{40}\cdot 100\%=40\%.$

 Tần số tương đối của điểm 10 là: $\frac{4}{40}\cdot 100\%=10\%.$

Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đã cho như sau:

2) Biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu thống kê đã cho như sau:

Vì $MP,MQ$ lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ tại $P,Q$ nên $OP\perp MP,OQ\perp MQ.$

Do $$\Delta OMP$$ vuông tại $P$ nên ba điểm $O,M,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

⦁ Vì $MP,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MO$ là tia phân giác của $\widehat{PMQ}.$ Suy ra $\widehat{PMO}=\widehat{OMQ}.$

Xét $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ ta có $\widehat{OMQ}+\widehat{MOQ}=90^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Mà $$\widehat{NOM}+\widehat{MOQ}=\widehat{NOQ}=90^{\circ }$$ (do $ON\perp OQ)$ nên $\widehat{NOM}=\widehat{OMQ}=\widehat{PMO}.$

Xét $\Delta NOM$ có $\widehat{NOM}=\widehat{NMO}$ nên $\Delta NOM$ cân tại $N,$ suy ra $ON=OM.$

⦁ Vì $MP,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MP=MQ,$ suy ra điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Vì $OP=OQ$ nên điểm $O$ cũng nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Do đó $OM$ là đường trung trực của $PQ$ nên $OM\perp PQ$ tại $K.$

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OMH$ có: $\widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^{\circ }$ và $\widehat{HOM}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}$ nên $IO\cdot OH=OK\cdot OM.$

Xét $\Delta OPK$ và $\Delta OMP$ có: $\widehat{OKP}=\widehat{OPM}=90^{\circ }$ và $\widehat{POM}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{OP}{OM}=\frac{OK}{OP}$ nên $O{P}^2=OK\cdot OM.$

Mà $IO\cdot OH=OK\cdot OM$ (câu 2) nên $O{P}^2=IO\cdot OH.$ Suy ra $OI=\frac{O{P}^2}{OH}=\frac{R^2}{OH}.$

Vì đường tròn $\left(O\right)$ và đường thẳng $d$ cố định nên $OH$ cố định. Như vậy, điểm $I$ nằm trên $OH$ cố định với $OI=\frac{R^2}{OH}$ không đổi là một điểm cố định.

Mà $PQ$ đi qua điểm $I$ nên khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì $PQ$ luôn đi qua điểm $I$ cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là $x(\mathrm{m})$ $\left(x>0\right).$

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là $x(\mathrm{m}).$

Gọi $a(\mathrm{m})$ là chiều dài của hầm biogas $\left(a>0\right).$

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: $$V=a\cdot x\cdot x=a{x}^2({\mathrm{m}}^3).$$

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích $27{\mathrm{m}}^3$  nên ta có $$a{x}^2=27,$$ suy ra $a=\frac{27}{x^2}(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy của hầm biogas là: $S_d=x\cdot \frac{27}{x^2}=\frac{27}{x}({\mathrm{m}}^2).$

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: $S_{xq}=2\left(x+\frac{27}{x^2}\right)\cdot x=2x^2+\frac{54}{x}({\mathrm{m}}^2).$

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: $S_{tp}=2S_d+S_{xq}=2\cdot \frac{27}{x}+2x^2+\frac{54}{x}=2x^2+\frac{108}{x}({\mathrm{m}}^2).$

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $S_{tp}$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $S_{tp}=2x^2+\frac{108}{x}=2x^2+\frac{54}{x}+\frac{54}{x}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $2x^2,\frac{54}{x},\frac{54}{x}$ ta được:

$S_{tp}=2x^2+\frac{54}{x}+\frac{54}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{54}{x}\cdot \frac{54}{x}}=3\cdot 18=54.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2x^2=\frac{54}{x},$ hay $x=3$ (thỏa mãn). Khi đó $a=\frac{27}{3^2}=3(\mathrm{m}).$

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng $3\mathrm{m}.$