Đề thi thử TS vào 10 (Lần 2 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Hoằng Thanh_Tỉnh Thanh Hóa

Phương trình $x^2+2x-3=0$ có $a=1,b=2,c=-3$ và $a+b+c=1+2+\left(-3\right)=0.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: $x_1=1,x_2=-3.$

Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}3x-3y=6\\ 2x+3y=9.\end{array}$$

Cộng từng vế của hai phương trình của phương trình trên, ta được:

$5x=15,$ suy ra $x=3.$

Thay $x=3$ vào phương trình $2x+3y=9,$ ta được:

$2\cdot 3+3y=9$ suy ra $3y=3$ nên $y=1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left(3;1\right).$

Với $x\ge 0,x\ne 4,$ ta có:

$A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{4\sqrt{x}-1}{x-4}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

 $=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{4\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

 $$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+4\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

 $$=\frac{x-2\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}+4\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

 $$=\frac{-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}+2}{1}=-\frac{1}{\sqrt{x}-2}.$$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 4$ thì $$A=-\frac{1}{\sqrt{x}-2}.$$

Xét phương trình: $x^2-\left(m+1\right)x+m=0$ có $a=1,b=-m-1,c=m.$

Ta có $a+b+c=1-m-1+m=0.$ Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=1;x=m.$

Xét hệ thức $x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+2$ ta thấy vai trò của $x_1,x_2$ như nhau.

Khi đó, ta có:

$1^2+m^2=\left(1-1\right)\left(m-1\right)+2$

$1+m^2=0\cdot \left(m-1\right)+2$

$1+m^2=2$

$m^2=1$

$$m=1$$ hoặc $m=-1.$

Vậy $m\in \left\{1;-1\right\}.$

Gọi $x,y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai $\left(0<x,y<600\right).$

Tổng số tiền cho hai khoản đầu tư là: $x+y=600.\left(1\right)$

Số tiền lãi cho khoản đầu tư thứ nhất là: $4\%x=0,04x$ (triệu đồng).

Số tiền lãi cho khoản đầu tư thứ hai là: $6\%y=0,06y$ (triệu đồng).

Theo bài, sau một năm số tiền lãi thu được là 28 triệu nên ta có phương trình:

$0,04x+0,06y=28$ hay $2x+3y=1400.\left(2\right)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y=600\\ 2x+3y=1400\end{array}$$

Giải hệ phương trình trên, ta được: $\{\begin{array}{l}x=400\\ y=200\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy cô An đã chia khoản đầu tư thứ nhất là 400 triệu đồng, khoản đầu tư thứ hai là 200 triệu đồng.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=6\mathrm{m},BC=8\mathrm{m}$ mô hình hóa bài toán trên.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

Suy ra $\hat{B}\approx 48^{\circ }35^{\prime }.$

⦁ Vì điểm $C$ thuộc nửa đường tròn $\left(O\right)$ nên $\widehat{ACB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $\widehat{ACH}+\widehat{HCB}=90^{\circ }.$

Xét $\Delta CHB$ vuông tại $H,$ ta có: $\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=90^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat{ACH}=\widehat{HBC}.$

Xét $\Delta AHC$ và $\Delta CHB$ có: $\widehat{AHC}=\widehat{CHB}=90^{\circ }$ và $\widehat{ACH}=\widehat{CBH}.$

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{CH}{BH}=\frac{AH}{CH}$ hay $C{H}^2=AH\cdot BH.$

⦁ Xét $\Delta OAC$ cân tại $O$ (do $OA=OC)$ nên $\widehat{ACO}=\widehat{CAO}=\frac{180^{\circ }-\widehat{AOC}}{2}=90^{\circ }-\frac{1}{2}\widehat{AOC}$.

Lại có $\widehat{AOC},\widehat{ABC}$ lần lượt là góc ở tâm, góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ của nửa đường tròn $\left(O\right)$ nên $\widehat{AOC}=2\widehat{ABC}$ hay $\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}.$

Do đó $\widehat{ACO}=90^{\circ }-\widehat{ABC}$ suy ra $\widehat{ABC}=90^{\circ }-\widehat{ACO}.$

Vì $d$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $\left(O\right)$ tại $C$ nên $OM\perp d$ tại $C$

Suy ra $\widehat{ACM}+\widehat{ACO}=\widehat{MCO}=90^{\circ }$ hay $\widehat{ACM}=90^{\circ }-\widehat{ACO}.$

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACM}.$ Mà $\widehat{ACH}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{ACM}=\widehat{ACH}.$

Xét $\Delta ACM$ và $\Delta ACH$ có: $\widehat{AMC}=\widehat{AHC}=90^{\circ },$ $AC$ là cạnh chung và $\widehat{ACM}=\widehat{ACH}.$

Do đó $\Delta ACM=\Delta ACH$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AM=AH$ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có $\Delta BCN=\Delta BCH$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên $BN=BH$ (hai cạnh tương ứng).

Khi đó, $AM\cdot BN=AH\cdot BH=C{H}^2.$

Mà $CH\le CO$ nên $AM\cdot BN\le C{O}^2.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $CH=CO,$ tức là điểm $H$ trùng điểm $O,$ khi đó ta có $CO\perp AB$ tại $O$ nên điểm $C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn $\left(O\right).$

Vậy khi điểm $C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn $\left(O\right)$ thì $AM\cdot BN$ đạt giá trị lớn nhất.

Số học sinh đạt từ điểm 2 đến điểm 9 là: $43-2=41$ (học sinh).

Từ điểm 2 đến điểm 9 có 8 loại điểm.

Giả sử trong 41 học sinh đó không có nhiều nhất là 5 bạn có điểm kiểm tra bằng nhau.

Khi đó số học sinh nhiều nhất có thể là: $8\cdot 5=40<41$ (điều này là vô lí).

Vậy có ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.