Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Đống Đa (Hà Nội) Tháng 1 có đáp án

a) Bảng thống kê:

b) Tổng số công nhân xếp loại Tốt trong quý III là: $50+48+12+18=128$ (người)

Tổng số công nhân xếp loại Tốt trong quý IV là: $30+18+25+52=125$ (người)

Số công nhân xếp loại Tốt bị giảm trong quý IV so với quý III là: $128-125=3$ (người)

Số công nhân xếp loại tốt bị giảm trong quý IV so với quý III chiếm: $\frac{3}{128}.100\%\approx 2,34\%$

Xét phép thử: “Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 1 chữ số” có $10$ kết quả có thể xảy ra là: $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$. Các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Xét biến cố: “ Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho  3 ” có $4$ kết quả thuận lợi là $0;3;6;9$

Xác xuất của biến cố trên là: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

1) Thay $x=16$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A=\frac{16+3\sqrt{16}}{\sqrt{16}}=7$

Vậy $A=7$ khi $x=16$.

2) Với $x>0$; $x\ne 4$, ta có:

$$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{4\sqrt{x}}{4-x}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$$$=\frac{x-2\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$

$$=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}.$$

Vậy với $x>0$; $x\ne 4$ thì $$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$.

3) Ta có: $P=A.B=\frac{x+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{x+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Để $$P\le 3$$ thì $\frac{x+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\le 3$

$\frac{x+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-3\le 0$

$\frac{x+3\sqrt{x}-3\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-2}\le 0$

$\frac{x+6}{\sqrt{x}-2}\le 0$

TH1: $\frac{x+6}{\sqrt{x}-2}=0$ thì $x+6=0$ nên $x=-6$ (không thỏa mãn)

TH2: $\frac{x+6}{\sqrt{x}-2}<0$

Mà $x>0$;$x\ne 4$ nên $x+6>0$ suy ra $\sqrt{x}-2<0$

Do đó $\sqrt{x}<2$ nên $x<4$

Kết hợp ĐK: $x>0$;$x\ne 4$ suy ra $0<x<4$.

Vậy để $$P\le 3$$ thì $0<x<4$.

1) Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là $x$ (nghìn đồng, $x>0$)

Số áo bạn Bình đã mua được là: $\frac{600}{x}$ (chiếc)

Giá tiền của mỗi chiếc áo dự định bạn Bình mua là $x+30$ (đồng)

Số áo bạn Bình dự định mua là: $\frac{600}{x+30}$ (chiếc)

Theo bài ra, bạn Bình đã mua được số lượng áo gấp $1,25$ lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: $\frac{600}{x}=1,25.\frac{600}{x+30}$

$\frac{600}{x}=\frac{750}{x+30}$

$750x=600\left(x+30\right)$

$750x=600x+18000$

$150x=18000$

$x=120$ (TMĐK)

Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là $120$ nghìn đồng.

$h=62,5.\sqrt[3]{t}+75,8$ (1)

 a) Thay $t=8$ vào (1), ta được: $h=62,5.\sqrt[3]{8}+75,8=200,8\left(\mathrm{cm}\right)$

Vậy một con voi đực $8$ tuổi ở châu Phi sẽ có chiều cao ngang vai là $200,8\mathrm{cm}$.

b) Thay $h=230$ vào (1), ta được:

$230=62,5.\sqrt[3]{t}+75,8$

$62,5.\sqrt[3]{t}=154,2$

$\sqrt[3]{t}=2,4672$

$t\approx 15$ (tuổi)

Vậy nếu một con voi đực ở châu Phi có chiều ngang vai là $230\mathrm{cm}$ thì con voi đó khoảng $15$ tuổi.

Xác định $a$ và $b$ để đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(2;8\right)$ và $B\left(-4;5\right)$.

Để đồ thị hàm số điểm $A\left(2;8\right)$ thì $8=2a+b$ hay $2a+b=8\left(1\right)$

Để đồ thị hàm số điểm $B\left(-4;5\right)$ thì $5=-4a+b$ hay $-4a+b=5\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$, ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2a+b=8\\ -4a+b=5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}6a=3\\ 2a+b=8\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ 2.\frac{1}{2}+b=8\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=7\end{array}$

Vậy để đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(2;8\right)$ và $B\left(-4;5\right)$ thì $a=\frac{1}{2};b=7$ .

Diện tích mảnh vải đó

$S=S_1-S_2=\frac{\pi R_1^{2}n}{360}-\frac{\pi R_2^{2}n}{360}\approx \frac{3,14.\left({5,2}^2-{3,5}^2\right).90}{360}=11,56\approx 11,6d{m}^2$

a) Chứng minh: $IA=IB$ và $OK//AC$.

Xét $\Delta OIB$ và $\Delta OIA$ có: $OI$ chung; $$OB=OA=R$$; $$\widehat{OIB}=\widehat{OIA}=90^{\circ }$$.

$\Delta OIB=\Delta OIA$ (c.g.c)

$\Rightarrow IB=IA$ (hai cạnh tương ứng); $\widehat{BOI}=\widehat{AOI}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\left(O\right)$ có $\widehat{BAC}=90^{\circ }$( góc nội tiếp)

Hay $AC\perp AB$  mà $OK\perp AB$( gt)  suy ra $OK//AC$( đpcm) 

b) Chứng minh: $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$.

Xét $\Delta OKB$ và $\Delta OKA$ có: $OK$ chung; $$OB=OA=R$$; $$\widehat{BOK}=\widehat{AOK}\left(cmt\right)$$

Do đó $\Delta OKB=\Delta OKA$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat{OBK}=\widehat{OAK}=90^{\circ }$ (hai góc tương ứng) nên $OA\perp AK$ tại $A$.

Vậy $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ (đpcm)

c) Đoạn thẳng $KC$ cắt  đường tròn $\left(O\right)$ tại $M$, trên tia đối của tia $MB$ lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của $BN$. Từ $N$ vẽ đường thẳng vuông với $Bx$ tại $P$. Chứng minh: $NK=KB$ và  $AC$ đi qua trung điểm của $NP$.

Xét $\Delta KMB$ và $\Delta KMN$ có: $KM$ chung; $$\widehat{KMB}=\widehat{KMN}=90^{\circ }$$; $$MB=MN$$

Do đó $\Delta KMB=\Delta KMN$ (c.g.c)

Suy ra $NK=KB$ (hai cạnh tương ứng)

Gọi  $AC\cap PN=\left\{G\right\};BG\cap KO=\left\{H\right\};MH\cap BP=E$

Xét $\Delta BCG$ có $OH//GC$ ( cmt) và $OB=OC=R$ suy ra $BH=HG$ ( tc)

Xét $\Delta BNG$ có $BH=HG$ ( cmt) và $BM=MN$

suy ra $HM$là đường trung bình của $\Delta BNG$  

suy ra $MH//GN\left(tc\right)$ mà $NP//BP$ suy ra $ME//BC\left(tc\right)$

Xét $\Delta BKO$ có $EH//BO$ (cmt) suy ra $\frac{EH}{BO}=\frac{KH}{KO}\left(1\right)$

Xét $\Delta CKO$ có $MH//CO$ (cmt) suy ra $\frac{MH}{CO}=\frac{KH}{KO}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{EH}{BO}=\frac{MH}{CO}\left(bc\right)$ mà  $BO=CO$ suy ra $EH=HM$.

Xét $\Delta BGP$ có $EH//PG$ (cmt) suy ra  $\frac{EH}{PG}=\frac{BH}{BG}\left(3\right)$

Xét $\Delta BGN$ có $MH//GN$ (cmt) suy ra  $\frac{MH}{GN}=\frac{BH}{BG}\left(4\right)$

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{EH}{PG}=\frac{MH}{GN}\left(bc\right)$ mà $EH=HM$ suy ra $PG=GN$.

Hay $AC$ đi qua trung điểm của $NP$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $3y$ ta có: $x+3y\ge 2\sqrt{x.3y}=2\sqrt{3}.\sqrt{xy}$

Suy ra: $2\sqrt{3}.\sqrt{xy}\le 6$ nên $\sqrt{xy}\le \sqrt{3}$ suy ra $xy\le 3$.

Ta có: $A=\frac{x^2{y}^2+2025}{xy}=xy+\frac{2025}{xy}=xy+\frac{9}{xy}+\frac{2016}{xy}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $xy$ và $\frac{9}{xy}$ ta có:

$xy+\frac{9}{xy}\ge 2\sqrt{xy.\frac{9}{xy}}=6$. Dấu “=” xảy ra khi $xy=\frac{9}{xy}\Rightarrow xy=3$.

Ta có: $xy\le 3$ nên $\frac{2016}{xy}\ge 672$. Dấu “=” xảy ra khi $xy=3$.

Từ đó suy ra: $xy+\frac{9}{xy}+\frac{2016}{xy}\ge 3+672=675$ hay $A\ge 675$.

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{array}{l}xy=3\\ \mathrm{x}+3y=6\end{array}$. Giải tìm được $x=3;y=1$ (TMĐK).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $675$ đạt được khi $x=3;y=1$.