Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Bình Phước có đáp án

a) Rút gọn biểu thức A.

ĐKXĐ:  $$x>0,x\ne 1$$

Ta có    $$\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$

            $$\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$

            $$\frac{2\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x-1}=\frac{2{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}$$

Vậy $$A=\left(\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$$

b)  Tìm $$x$$ nguyên để $$A$$ nhận giá trị nguyên

Ta có $$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}$$

Để $$A$$ nhận giá trị nguyên thì $$\sqrt{x}-1$$ là ước của $$2$$.

Hay $$\left(\sqrt{x}-1\right)\in \left\{2;-2;1;-1\right\}$$.

Suy ra $$[\begin{array}{l}\sqrt{x}-1=-2\iff \sqrt{x}=-1\left(l\right)\\ \sqrt{x}-1=-1\iff \sqrt{x}=0\iff x=0\left(l\right)\\ \sqrt{x}-1=2\iff \sqrt{x}=3\iff x=9\left(n\right)\\ \sqrt{x}-1=1\iff \sqrt{x}=2\iff x=4\left(n\right)\end{array}$$

Vậy có 2 giá trị $$x=4;x=9$$ thì $$A$$ nguyên.

a)  Giải phương trình: $$2x\sqrt{2x+3}=3x^2+6x+1.$$ 

ĐKXĐ: $$x\ge \frac{-3}{2}$$

Ta có

Pt $$\iff x^2+2x+3+2x\sqrt{2x+3}=4x^2+8x+4\iff {\left(x+\sqrt{2x+3}\right)}^2={\left(2x+2\right)}^2$$

    $$\iff [\begin{array}{l}x+\sqrt{2x+3}=2x+2\\ x+\sqrt{2x+3}=-2x-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sqrt{2x+3}=x+2\\ \sqrt{2x+3}=-3x-2\end{array}$$

$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x^2+2x+1=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\le -\frac{2}{3}\\ 9x^2+10x+1=0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x=-1(n)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\le -\frac{2}{3}\\ [\begin{array}{l}x=-1(n)\\ x=-\frac{1}{9}(l)\end{array}\end{array}\end{array}$$

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là $$x=-1$$.

b)  Giải hệ phương trình:

       $$\{\begin{array}{l}2x^2-4xy+3x-4y-4=\sqrt{9\left(x-1\right)\left(x^2-2xy+x-2y\right)}\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2y}=\sqrt{2x-2y+5}.\end{array}$$

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x^2-2xy+x-2y\right)\ge 0\\ x+1\ge 0\\ x-2y\ge 0\\ 2x-2y+5\ge 0\end{array}$

Ta có phương trình (2)

 $\iff x+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}+x-2y=2\left(x-y\right)+5$

$\begin{array}{l}\iff 2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}=4\iff \sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}=2\\ \iff \left(x+1\right)\left(x-2y\right)=4\iff x^2-2xy+x-2y=4(\ast )\end{array}$

Ta có phương trình (1)

 $$\iff 2\left(x^2-2xy+x-2y\right)+x-4=\sqrt{9\left(x-1\right)\left(x^2-2xy+x-2y\right)}$$

$$\iff 8+x-4=\sqrt{36\left(x-1\right)}$$$$\iff \sqrt{36\left(x-1\right)}=x+4$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -4\\ 36\left(x-1\right)=x^2+8x+16\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -4\\ x^2-28x+52=0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -4\\ [\begin{array}{l}x=2(n)\\ x=26(n)\end{array}\end{array}$$

+ Với $x=2$ thay vào (*) ta có:

pt$(\ast )\iff 4-4y+2-2y=4\iff -6y=-2\iff y=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

+ Với $x=26$ thay vào (*) ta có:

$(\ast )\iff 676-52y+26-2y=4\iff -54y=-698\iff y=\frac{349}{27}.$(thỏa mãn).

            Kết luận: Hệ có 2 nghiệm là: $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{3}\end{array}$ và  $\{\begin{array}{l}x=26\\ y=\frac{349}{27}\end{array}$.

a)  Giải phương trình: $$2x\sqrt{2x+3}=3x^2+6x+1.$$ 

ĐKXĐ: $$x\ge \frac{-3}{2}$$

Ta có

Pt $$\iff x^2+2x+3+2x\sqrt{2x+3}=4x^2+8x+4\iff {\left(x+\sqrt{2x+3}\right)}^2={\left(2x+2\right)}^2$$

    $$\iff [\begin{array}{l}x+\sqrt{2x+3}=2x+2\\ x+\sqrt{2x+3}=-2x-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sqrt{2x+3}=x+2\\ \sqrt{2x+3}=-3x-2\end{array}$$

$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x^2+2x+1=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\le -\frac{2}{3}\\ 9x^2+10x+1=0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x=-1(n)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\le -\frac{2}{3}\\ [\begin{array}{l}x=-1(n)\\ x=-\frac{1}{9}(l)\end{array}\end{array}\end{array}$$

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là $$x=-1$$.

b)  Giải hệ phương trình:

       $$\{\begin{array}{l}2x^2-4xy+3x-4y-4=\sqrt{9\left(x-1\right)\left(x^2-2xy+x-2y\right)}\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2y}=\sqrt{2x-2y+5}.\end{array}$$

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x^2-2xy+x-2y\right)\ge 0\\ x+1\ge 0\\ x-2y\ge 0\\ 2x-2y+5\ge 0\end{array}$

Ta có phương trình (2)

 $\iff x+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}+x-2y=2\left(x-y\right)+5$

$\begin{array}{l}\iff 2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}=4\iff \sqrt{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}=2\\ \iff \left(x+1\right)\left(x-2y\right)=4\iff x^2-2xy+x-2y=4(\ast )\end{array}$

Ta có phương trình (1)

 $$\iff 2\left(x^2-2xy+x-2y\right)+x-4=\sqrt{9\left(x-1\right)\left(x^2-2xy+x-2y\right)}$$

$$\iff 8+x-4=\sqrt{36\left(x-1\right)}$$$$\iff \sqrt{36\left(x-1\right)}=x+4$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -4\\ 36\left(x-1\right)=x^2+8x+16\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -4\\ x^2-28x+52=0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -4\\ [\begin{array}{l}x=2(n)\\ x=26(n)\end{array}\end{array}$$

+ Với $x=2$ thay vào (*) ta có:

pt$(\ast )\iff 4-4y+2-2y=4\iff -6y=-2\iff y=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

+ Với $x=26$ thay vào (*) ta có:

$(\ast )\iff 676-52y+26-2y=4\iff -54y=-698\iff y=\frac{349}{27}.$(thỏa mãn).

            Kết luận: Hệ có 2 nghiệm là: $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{3}\end{array}$ và  $\{\begin{array}{l}x=26\\ y=\frac{349}{27}\end{array}$.

a) Tìm $m$ để phương trình có $$2$$ nghiệm trái dấu.

            Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

            $$x_1.x_2<0\iff 3m^2-8m+5<0\iff \left(m-1\right)\left(3m-5\right)<0$$

            $$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}m-1>0\\ 3m-5<0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}m-1<0\\ 3m-5>0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}m>1\\ m<\frac{5}{3}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}m<1\\ m>\frac{5}{3}\end{array}\end{array}\iff 1<m<\frac{5}{3}$$

            Vậy $$1<m<\frac{5}{3}$$ thì thỏa yêu cầu bài toán.

b) Tìm $m$ để phương trình có $$2$$ nghiệm $$x_1;x_2$$ phân biệt thỏa mãn điều kiện $x_1^2+2x_2^2-3x_1{x}_2=x_1-x_2$

            Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

      $$\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }={\left(m-3\right)}^2-3m^2+8m-5>0\iff m^2-6m+9-3m^2+8m-5>0\\ \iff -2m^2+2m+4>0\iff -1<m<2\end{array}$$

            Theo định lý Vi-et ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m-3)(1)\\ x_1{x}_2=3m^2-8m+5(2)\end{array}$$

            Theo đề ta có

            $x_1^2+2x_2^2-3x_1{x}_2=x_1-x_2\iff \left(x_1-x_2\right)\left(x_1-2x_2\right)=x_1-x_2\iff [\begin{array}{l}{x}_1-x_2=0\\ x_1-2x_2-1=0\end{array}$

+ TH1: $$x_1-x_2=0$$ (loại vì $$x_1\ne x_2$$).

+ TH2: $$x_1-2x_2-1=0$$, kết hợp với (1) ta có hệ: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-3\right)\\ x_1-2x_2-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x_2=2m-7\\ x_1=2x_2+1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{2m-7}{3}\\ x_1=\frac{4m-11}{3}\end{array}$$

            Thay $x_1;x_2$ tìm được vào (2) ta có:

            $$\begin{array}{l}\frac{4m-11}{3}.\frac{2m-7}{3}=3m^2-8m+5\\ \iff 19m^2-22m-32=0\iff [\begin{array}{l}m=2\left(l\right)\\ m=\frac{-16}{19}\left(tm\right)\end{array}\end{array}$$

            Kết hợp với điều kiện ta có $$m=\frac{-16}{19}$$thì thỏa yêu cầu bài toán.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$$\left(2x+y\right)\left(x-y\right)+3\left(2x+y\right)-5\left(x-y\right)=22$$

Ta có $$\left(2x+y\right)\left(x-y\right)+3\left(2x+y\right)-5\left(x-y\right)=22$$

$$\begin{array}{l}\iff \left(2x+y\right)\left(x-y+3\right)-5\left(x-y+3\right)=7\\ \iff \left(2x+y-5\right)\left(x-y+3\right)=7\end{array}$$

Vì $$7=1.7=7.1=\left(-1\right).\left(-7\right)=\left(-7\right).\left(-1\right)$$ nên ta có 4 trường hợp xảy ra.

TH1: $$\{\begin{array}{l}2x+y-5=1\\ x-y+3=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{10}{3}\\ y=\frac{-2}{3}\end{array}$$    (loại).

TH2: $$\{\begin{array}{l}2x+y-5=7\\ x-y+3=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{10}{3}\\ y=\frac{16}{3}\end{array}$$    (loại).

TH3: $$\{\begin{array}{l}2x+y-5=-1\\ x-y+3=-7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=8\end{array}$$    (thỏa mãn)

TH4: $$\{\begin{array}{l}2x+y-5=-7\\ x-y+3=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2\end{array}$$    (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  $$\left(x;y\right)$$ là $$\left(-2;8\right)$$ và $$\left(-2;2\right)$$

b) Cho hai số tự nhiên $$a,b$$ thỏa mãn $$2a^2+a=3b^2+b.$$ Chứng minh rằng $$2a+2b+1$$ là số chính phương.

Ta có $$2a^2+a=3b^2+b\iff \left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\left(\ast \right)$$

Gọi $$d=\left(a-b,2a+2b+1\right)$$ với $$d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Suy  ra $$\{\begin{array}{l}\left(a-b\right)⋮d\\ \left(2a+2b+1\right)⋮d\end{array}\Rightarrow \left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)⋮d^2$$ $$\Rightarrow b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d.$$

Vì $$\left(a-b\right)⋮d\Rightarrow a⋮d\Rightarrow \left(2a+2b\right)⋮d$$ mà $$\left(2a+2b+1\right)⋮d$$ nên $$1⋮d\Rightarrow d=1$$

Do đó $$\left(a-b,2a+2b+1\right)=1.$$  Từ  (*)  ta được $$a-b$$ và $$2a+2b+1$$ là số chính phương. Vậy $$2a+2b+1$$ là số chính phương.