Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Lâm Đồng có đáp án

- Lập luận : $A<0$

$\begin{array}{l}{A}^2={\left(\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\right)}^2\\ =8-2\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}.\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\ =8-2\sqrt{6+2\sqrt{5}}=8-2.\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2}\\ =8-2(\sqrt{5}+1)=6-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}-1{)}^2\\ \Rightarrow A=1-\sqrt{5}.\end{array}$

- Biến đổi: $$B=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2021}+2^{2022}$$$$\iff 2B=2\left(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2021}+2^{2022}\right)$$$$\iff 2B=2^2+2^3+...+2^{2022}+2^{2023}$$

- Tính được:

$$2B-B=2^{2023}-2\iff B=2^{2023}-2$$

- Tính được:

$$B+2=2^{2023}-2+2=2^{2023}$$

- Lập luận được: Vì $2^{2023}$là lũy thừa với số mũ lẻ nên $2^{2023}$ không là số chính phương.

Vậy $$B+2$$ không là số chính phương

- Biến đổi được:

$$a+b+20c=c^3\iff a+b+c=c^3-c-18c$$

 $$\iff a+b+c=c\left(c-1\right)\left(c+1\right)-18c$$

- Chứng minh được:$$\iff a+b+c=c\left(c-1\right)\left(c+1\right)-18c⋮6$$

- Mặt khác: $$a^3+b^3+c^3-(a+b+c)$$

 $$=(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)⋮6$$

- Lập luận kết luận  $$a^3+b^3+c^3$$ chia hết cho 6.

- Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường THCS X $\left(x,y\in N^{\ast };x,y<60\right)$

- Lập luận được pt: $x+y=60$

-  Lập luận được pt:$\frac{38x+50y}{60}=42$

- Giải hệ pt: $\{\begin{array}{l}x+y=60\\ \frac{38x+50y}{60}=42\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=40\\ y=20\end{array}$

- Trả lời: Cô giáo: 40 , thầy giáo: 20

- Điều kiện $2x-y-3\ge 0$,

- Phương trình (2) $\iff$$${\left(y-x\right)}^2=x^2-9$$ 

- Phương trình $$\left(1\right)\iff \sqrt{2x-y-3}+{\left(y-x\right)}^2=0$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}2x-y-3=0\\ y-x=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=x\end{array}$$

- Lập luận được phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu thì P < 0

$ac=1.\left(-m^2-2\right)<0$ nên phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị $m$.

- Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và $x_1<x_2$ Suy ra $x_1<0$, $x_2>0$$\Rightarrow \left|x_1\right|=-x_1,\left|x_2\right|=x_2$

do đó từ gt: $2\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=4$$$\Rightarrow -2x_1-x_2=4\left(1\right)$$

- Theo định lí Viet ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1-m(2)\\ x_1.x_2=-m^2-2(3)\end{array}$$

- Giải hệ $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1-m(2)\\ -2x_1-x_2=4(1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=m-5\\ x_2=6-2m\end{array}$$

   Mà $$x_1<0<x_2$$ nên ta được $$m<3$$.

- Thay $$x_1=m-5$$, $$x_2=6-2m$$ vào $$(3)$$ ta được phương trình: $$(m-5)(6-2m)=-m^2-2$$$$\iff [\begin{array}{l}m=2\\ m=14\end{array}$$.

- Kết hợp $$m<3$$ ta được $$m=2$$ thỏa yêu cầu bài toán.