Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).
a) Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
b) Gọi là các số thực thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vì là nghiệm của nên
Ta có
Vậy là các giá trị cần tìm.
b) Gọi là các số thực thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức
Ta có
Mà
Suy ra
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Xác định các hệ số của đa thức biết
Vì nên ta có
Vì nên ta có
Vì nên ta có
Ta có hệ phương trình
Vậy
b) Cho là số nguyên dương sao cho và là các số chính phương. Chứng minh rằng chia hết cho
Giả sử và
Từ là số lẻ.
Ta có
Vì là số lẻ nên và là hai số chẵn liên tiếp, do đó là số lẻ.
Suy ra là số lẻ.
Lại có
Mà
Ta có
mà
Vì nên từ (1) và (2) suy ra .
Từ đó (đpcm).
a) Giải phương trình:
b) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Giải phương trình
+ Điều kiện
Phương trình \[\]
Phương trình
+ Khi Không thỏa mãn phương trình
+ Khi
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là
b) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).
Vì là hình chiếu vuông góc của trên trục nên
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục suy ra
Gọi là trung điểm của đoạn suy ra
Điểm là điểm nguyên nằm trong khi và chỉ khi điểm đối xứng với điểm qua nằm trong
Suy ra số điểm nguyên nằm trong bằng số điểm nguyên nằm trong
Do đó số điểm nguyên nằm trong tam giác bằng (số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng
Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật bằng
Phương trình đường thẳng là Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn thẳng (trừ điểm và ) bằng
Vậy số điểm nguyên trong bằng
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm và ( và thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ). Đường thẳng cắt và lần lượt tại và đường thẳng cắt và lần lượt tại và ( khác ). Gọi là trung điểm của là giao điểm của và
a) Chứng minh rằng năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm đối xứng của qua là giao điểm của và là giao điểm của với ( khác ); là giao điểm của với Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a)
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Suy ra là trực tâm tam giác thẳng hàng.
Dễ có tứ giác nội tiếp đường tròn tâm (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn ) và
Ta có tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Kết hợp với suy ra
Ta có
Từ và suy ra 5 điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm đối xứng của qua là giao điểm của và là giao điểm của với ( khác ); là giao điểm của với Chứng minh rằng
Xét tứ giác có hai đường chéo tại trung điểm của
Ta có (cùng phụ với ). Mà (góc nội tiếp cùng chắn ) (2).
Từ (1) và (2) suy ra là hình thoi.
Xét hai và có (so le trong), (đối đỉnh). Suy ra
(đpcm).
c) Chứng minh rằng
Gọi là giao điểm của và (như hình vẽ).
Xét tứ giác có (cùng bằng ), suy ra tứ giác nội tiếp
Từ
Vậy
là trung điểm của (đpcm).
Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
Ta có
Đặt và
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Tương tự có
Ta chứng minh với
Thật vậy:
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi
Tương tự có
Khi đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng Dấu “=” xảy ra khi