Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 sở GD&ĐT Quảng Bình có đáp án

a)Với $0\le x\ne 1$ ta có:

$\begin{array}{l}P=\frac{\left(3x+5\sqrt{x}-11\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+2\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{\left(3x+5\sqrt{x}-11\right)-\left(x-4\right)+2\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\end{array}$

$=\frac{x+6\sqrt{x}-7}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+7\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}$

Vậy $P=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}$ với $0\le x\ne 1$

b)Ta có: $P=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{5}{\sqrt{x}+2}\Rightarrow 1<P\le 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$ với $0\le x\ne 1$

Biểu thức $$P$$ chia hết cho 3$\iff P=3\iff \frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=3$

$\iff \sqrt{x}+7=3\sqrt{x}+6\iff \sqrt{x}=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{4}$

Vậy $x=\frac{1}{4}$

a)Ta thấy $ac=-3<0,\forall m$ nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm $$x_1,x_2$$ với mọi giá trị của $m$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\left(2\right)\\ x_1{x}_2=-3\left(3\right)\end{array}$$

Kết hợp $$x_1+2x_2=5$$ với $\left(2\right)$ ta được $$x_1=4m-9,x_2=7-2m$$

Thay vào $\left(3\right)$ ta có

$$\left(4m-9\right)\left(7-2m\right)=-3\iff -8m^2+46m-60=0\iff m=2$$ hoặc $$m=\frac{15}{4}$$

Vậy $$m=2$$

b)Điều kiện: $x\ge \frac{5}{3}$

$\begin{array}{l}\sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5}=4\iff \left(\sqrt{x+1}-2\right)+\left(\sqrt{3x-5}-2\right)=0\\ \iff \frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{3x-5}+2}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \left(x-3\right)\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{3}{\sqrt{3x-5}+2}\right]=0\\ \iff x-3=0\mathrm{do}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{3}{\sqrt{3x-5}+2}>0,\forall x\ge \frac{5}{3}\\ \iff x=3\end{array}$

Vậy $$x=3$$

Đặt $\{\begin{array}{c}x=a+b-c>0\\ y=b+c-a>0\\ z=c+a-b>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=\frac{x+z}{2}\\ b=\frac{x+y}{2}\\ c=\frac{y+z}{2}\end{array}$

Ta cần chứng minh: $\frac{{\left(x+y\right)}^2}{4z}+\frac{{\left(y+z\right)}^2}{4x}+\frac{{\left(z+x\right)}^2}{4y}\ge x+y+z$

Ta có: $\frac{{\left(x+y\right)}^2}{4z}+\frac{{\left(y+z\right)}^2}{4x}+\frac{{\left(z+x\right)}^2}{4y}\ge \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\left(1\right)$

Mặt khác: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge 2y;\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 2z;\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge 2x$.

Khi đó $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có $\frac{{\left(x+y\right)}^2}{4z}+\frac{{\left(y+z\right)}^2}{4x}+\frac{{\left(z+x\right)}^2}{4y}\ge x+y+z$

Vậy $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c$

Dấu bằng xãy ra khi $$a=b=c$$

Với $n\in \mathbb{N}$, ta có $n^5+1⋮n^3+1\iff n^2\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)⋮n^3+1$

$\iff \left(n^2-1\right)⋮n^3+1\iff \left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)$

$\iff n-1⋮n^2-n+1$ (vì $n+1\ne 0$)

$\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮n^2-n+1\iff \left(n^2-n+1\right)-1⋮n^2-n+1$

$\iff 1⋮n^2-n+1\Rightarrow [\begin{array}{l}{n}^2-n+1=1\\ n^2-n+1=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}n=1\\ n=0\end{array}$

Thử lại ta thấy $n=0;n=1$ thỏa mãn để $n^5+1$ chia hết cho $n^3+1$

Vậy $n=0;n=1.$