Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên An Giang có đáp án

a) Xét $\Delta AHB$ vuông cân tại H có D là trung điểm $AB\Rightarrow DA=DB=DH$   (1).

Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên $DH=DF$   (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow DA=DH=DB=DF$.

Suy ra bốn điểm A, H, B, F cùng thuộc được tròn đường kính AB.

Vậy tứ giác ABFH nội tiếp.

b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a) $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{FHE}$   (3).

Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên $EH=EF.$

Suy ra $\Delta EHF$ cân tại E $\Rightarrow \widehat{FHE}=\widehat{EFH}$   (4).

Từ (3), (4) $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{EFH}.$

c) Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên

                $\widehat{FDE}=\frac{1}{2}\widehat{HDF}\left(5\right)$

Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường tròn tâm D đường kính AB nên

$\widehat{HAF}=\frac{1}{2}\widehat{HDF}\left(6\right)$.

Từ (5), (6) $\Rightarrow \widehat{FDE}=\widehat{HAF}=\widehat{EAF}.$

Suy ra tứ giác FDAE nội tiếp.   (7)

Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp $\Delta ABC$ có

            D là trung điểm dây AB $\Rightarrow \widehat{ODA}=90^0$

            E là trung điểm dây AC $\Rightarrow \widehat{OEA}=90^0$

Xét tứ giác ODAE có:

                                           $\widehat{ODA}+\widehat{OEA}=180^0$

Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường tròn đường kính AO.    (8)

Kết hợp (7), (8)           $\Rightarrow A,D,F,O,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

                                    $\Rightarrow \widehat{AFO}=\widehat{ADO}=90^0$ (cùng chắn cung AO).

Mặt khác: $\widehat{AFB}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Suy ra: $\widehat{AFO}+\widehat{AFB}=180^0$, nghĩa là B, F, O thẳng hàng.

Vậy BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$