Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Đồng Tháp có đáp án

a) Ta có: $P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-2\right)}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

$=\frac{x-4}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

$=\frac{2\left(x-4\right)}{\sqrt{x}.(x-4)}$

$=\frac{2}{\sqrt{x}}$

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $$P\ge 1$$.

$$P\ge 1\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}}\ge 1$$

$$\Rightarrow \sqrt{x}\le 2$$

$$\Rightarrow x\le 4$$

Do $x>0,x\ne 4$ nên $$0<x<4$$

a) Giải phương trình $x^4+5x^2-6=0$.

Đặt $t=x^2$ $\left(t\ge 0\right)$

Ta được phương trình $t^2+5t-6=0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}t=1\\ t=-6(\mathrm{loai})\end{array}$

Với $t=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm 1$.

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x\left(3y+1\right)-y=3\\ x^2+y^2+xy=3\end{array}$.

$\{\begin{array}{l}x\left(3y+1\right)-y=3\\ x^2+y^2+xy=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-y+3xy=3\\ {\left(x-y\right)}^2+3xy=3\end{array}$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x-y\\ v=xy\end{array}$

Ta có hệ phương trình  $$\{\begin{array}{l}u+3v=3\\ u^2+3v=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u+3v=3\\ u^2-u=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}v=\frac{3-u}{3}\\ [\begin{array}{l}u=0\\ u=1\end{array}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}u=0\\ v=1\end{array}\\ \{\begin{array}{l}u=1\\ v=\frac{2}{3}\end{array}\end{array}$$

Với $\{\begin{array}{l}u=0\\ v=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-y=0\\ xy=1\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}x=y=1\\ x=y=-1\end{array}$.

Với $\{\begin{array}{l}u=1\\ v=\frac{2}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-y=1\\ xy=\frac{2}{3}\end{array}$  $\Rightarrow$hệ có nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{33}}{6}\\ y=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}\end{array}$  hoặc  $\{\begin{array}{l}x=\frac{3-\sqrt{33}}{6}\\ y=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}\end{array}$.

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm $\left(1;1\right),\left(-1;-1\right),$$\left(\frac{3+\sqrt{33}}{6};\frac{-3+\sqrt{33}}{6}\right),\left(\frac{3-\sqrt{33}}{6};\frac{-3-\sqrt{33}}{6}\right)$.

c) Cho phương trình $x^2+2mx+m^2-2m+4=0$ ($m$là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $\left(x_1+m\right)\left(x_2+m\right)=m^2-6m+7$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\iff {\Delta }^{\prime }=2m-4>0\iff m>2$.

Theo hệ thức Vi-et $\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2m\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=m^2-2m+4\end{array}$

Ta có $\left(x_1+m\right)\left(x_2+m\right)=m^2-6m+7\iff x_1{x}_2+m\left(x_1+x_1\right)+m^2=m^2-6m+7$

$\iff m^2-4m+3=0\Rightarrow [\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}$

So với điều kiện ta có $m=3$ là giá trị cần tìm.

Ta có phương trình $3000x+4000y=2023000\iff 3x+4y=2023$

Suy ra $y=\frac{2023-3x}{4}\ge 1\Rightarrow 1\le x\le \frac{2019}{3}=673$

Mặt khác ta có $y=\frac{2023-3x}{4}=\frac{2024-4x-1+x}{4}=506-x+\frac{x-1}{4}$

Để $y$ nguyên thì $x-1$ chia hết cho $4$, suy ra $x=1+4k,k\in \mathbb{Z}$.

Kéo theo $y=505-3k$.

Do đó $1\le 1+4k\le 673\iff 0\le k\le 168$.

Vậy có $169$ cặp $\left(x;y\right)$