Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hải Phòng có đáp án

a)     $$A=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$$

.$$\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\le 2\iff 2\sqrt{x}\le 2x-2\sqrt{x}+2\iff {\left(\sqrt{x}-1\right)}^2\ge 0$$. Vậy $A\le 2$.

b)Có ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a^2-2a+1)=4a\ge 0$

.Khi đó $x_1=(a+1)-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}=(a+1)-2\sqrt{a}=(\sqrt{a}-1{)}^2$

$x_2=(a+1)+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}=(a+1)+2\sqrt{a}=(\sqrt{a}+1{)}^2$.

.Do $a$ là số chính phương nên $\sqrt{a}$ là số nguyên nên $x_1;x_2$là số chính phương

a)Đặt $\sqrt{3x^2+4x+5}=a$, $3x=b$

Khi đó phương trình trở thành:$a^3+a=b^3+b$

$\iff (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0\iff a=b$ (vì $a^2+ab+b^2+1>0$)

$\iff \sqrt{3x^2+4x+5}=3x\iff \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 6x^2-4x-5=0\end{array}\iff x=\frac{2+\sqrt{34}}{6}$.

b)ĐKXĐ: $x\ge 0;y\ge 0$. PT thứ nhất $\iff \sqrt{y}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$   (1).

PT thứ hai $$\iff {\left(\sqrt{y}+2\right)}^2={\left(x+1-\sqrt{x}\right)}^2$$.

+TH1: $\sqrt{y}+2=x+1-\sqrt{x}\iff \sqrt{y}=x-\sqrt{x}-1$. Kết kợp với (1):

$\sqrt{x+1}=x-1\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x^2-3x=0\end{array}\iff x=3;y=7-4\sqrt{3}$ (tmđkxđ).

+TH2: $\sqrt{y}+2=-x-1+\sqrt{x}$( Vô lý vì $\sqrt{y}+2>0;-x-1+\sqrt{x}<0$).

Vậy $x=3;y=7-4\sqrt{3}$.

a)Ta có $(a-b{)}^2=4.5^m-20ab⋮5$$$\Rightarrow (a-b)⋮5\Rightarrow (a-b{)}^2⋮25$$.

$a,b\ge 2\Rightarrow a^2+b^2+18ab=4.5^m\ge 80\Rightarrow m\ge 2$

$\Rightarrow 20ab=(a-b{)}^2-4.5^m⋮25$$\Rightarrow 20ab⋮25\Rightarrow ab⋮5$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}a⋮5\\ b⋮5\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a⋮5\\ b⋮5\end{array}\Rightarrow a=b=5;m=3.$

b)Gọi $X$ là tập 4 điểm được gán các số 1, 2, 3, 4 và $Y$ là tập 4 điểm còn lại. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của X và một điểm của Y. Một cách nối như vậy thoả mãn yêu cầu bài toán vì tổng các số tương ứng với 4 dây cung này bằng $5+6+7+8-4-3-2-1=16$.

Dễ thấy rằng có một điểm của $X$ nằm kề một điểm của $Y$. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 6 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con $X_1$, $Y_1$ tương ứng, mỗi tập gồm 3 điểm được đánh dấu.

Bây giờ, lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của $X_1$ kề nhau với một điểm $Y_1$ trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 4 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con$X_2,$$Y_2$ tương ứng, mỗi tập gồm 2 điểm được đánh dấu.

Lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của $X_2$ kề nhau với một điểm $Y_2$ trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này cũng như dây cung nối 2 điểm còn lại. Bây giờ, khôi phục lại các dây cung ban đầu. Dễ thấy, 4 dây cung được kẻ đôi một không có điểm chung.