Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hưng Yên có đáp án

a) Ta có: P = $\frac{x}{\sqrt{x}-1}$ + $\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ + $\frac{2x-x\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2}$ x ³ 0, x$\ne$1, x$\ne$4

P = $\frac{x}{\sqrt{x}-1}$ + $\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ + $\frac{2x-x\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2}$

P = $\frac{x\left(\sqrt{x}-2\right)+2\left(\sqrt{x}-1\right)+2x-x\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

P = $\frac{x\sqrt{x}+2x-2\sqrt{x}-2+2x-x\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

P = $\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$ + $\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

b) $\left|P\right|$ – P = 0 Û $\left|P\right|$ = P Û P > 0

Û $\frac{2}{\sqrt{x}-1}$ > 0 Û $\sqrt{x}$ > 1 Û x > 1

Kết hợp với ĐKXĐ: x$\ne$1, x$\ne$4

1.  1)Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^2=(m+2)x-m-8$

$\iff x^2-\left(m+2\right)x+m+8=0$

Vì phương trình có hai nghiệm nằm bên phải trục tung nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\Delta >0\\ m+2>0\\ m+8>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-28>0\\ m+2>0\\ m+8>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>2\sqrt{7}\\ m>-2\\ m>-8\end{array}\Rightarrow m>2\sqrt{7}$

Áp dụng Vi-et và kết hợp giả thiết ta có :

$\left(I\right)\iff \{\begin{array}{l}{x}_1^3-x_2=0(1)\\ x_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=m+8\end{array}\Rightarrow \left(I\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=\sqrt[4]{m+8}\\ x_2={\left(\sqrt[3]{m+8}\right)}^3\end{array}$. Thay vào (1) ta có :

$\sqrt[4]{m+8}+{\left(\sqrt[4]{m+8}\right)}^3=m+2$. Đặt $\sqrt[4]{m+8}=a\left(a>\sqrt[4]{2\sqrt{7}+8}\right)$. Phương trình trở thành :

$\begin{array}{l}a+a^3=a^4-6\iff a^4-a^3-a-6=0\\ \iff \left(a-2\right)\left(a^3+a^2+2a+3\right)=0\Rightarrow a=2\end{array}$

$a=2\Rightarrow \sqrt[4]{m+8}=2\iff m=8(tmdk)$

Vậy $m=8$

2)

2024(x2 + y2) – 2023(2xy + 1) = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2) – 2023.2xy – 2023 = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2 – 2xy) = 5 + 2023

Û x2 + y2 + 2023(x – y)2 = 2028       (*)

Vì x, y Î Z. Do đó $\left|x-y\right|$ là số tự nhiên

Nhận xét: Nếu $\left|x-y\right|$ ³ 2 thì (x – y)2 ³ 4 Þ 2023(x – y)2 ³ 8092

Do đó x2 + y2 + 2023(x – y)2 > 2028

Nên (*) không xảy ra. Nên $\left|x-y\right|$ £ 1

Vậy có $\left|x-y\right|$ Î {0;1}

* Xét $\left|x-y\right|$ = 0. Ta có: $x-y$ = 0 Û x = y

Với x = y, từ (*) có 2x2 = 2028 mà x;y Î Z nên loại.

* Xét $\left|x-y\right|$ = 1 Û$\{\begin{array}{c}x-y=1\\ x-y=-1\end{array}$

Với x = y, từ (*) có x2 + (x – y)2 = 5 Û 2x2 + 2x + 1 = 5

+ Xét y = x – 1. Ta có x2 + (x – 1)2 = 5 Þ 2x2 + 2x + 1 = 5   

Û x2 – x – 2 = 0 Û $[\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}$. Với $[\begin{array}{c}x=2y=2\\ x=-1y=-1\end{array}$

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (–1; –2), (2;1), (1;2), (–2; –1)

 

1.

ĐKXĐ: $\forall$x Î R

3x³ – 7x² + 6x + 4 = 3$\sqrt[3]{\frac{16x^2+6x+2}{3}}$

$\Rightarrow$ 3x³ + 9x² + 12x + 6 = 16x² + 6x + 2 + 3$\sqrt[3]{\frac{16x^2+6x+2}{3}}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{16x^2+6x+2}{3}}$ = t , ta có:

3x³ + 9x² + 12x + 6 = 3t³ + 3t

$\iff$ x³ + 3x² + 4x + 2 = t³ + t

$\iff$ (x + 1)³ + (x + 1) = t³ + t

$\iff$ (x + 1 – t) [(x + 1)² – (x + 1)t + t² +1] = 0

Mà (x + 1)² – (x + 1)t + t² +1 > 0 Þ x + 1 – t = 0

$\Rightarrow$ x + 1 = t

$\iff$ x + 1 = $\sqrt[3]{\frac{16x^2+6x+2}{3}}$

$\iff$ 3x³ + 9x² + 12x + 6 = 16x² + 6x + 2

$\iff$ 3x³ – 7x² + 3x + 1 = 0

$\iff$ 3x³ – 3x² – 4x² + 4x – x + 1 = 0

$\iff$ (x – 1)( 3x² – 4x + 1) = 0

$\Rightarrow$ $[\begin{array}{c}x=1\\ x=\frac{2+\sqrt{7}}{3}\\ x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}\end{array}$

Thử lại thấy cả 3 nghiệm thoả mãn.

Vậy x $\in$ $\left\{1;\frac{2+\sqrt{7}}{3};\frac{2-\sqrt{7}}{3}\right\}$

$\begin{array}{l}2.\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+x+y=8\left(1\right)\\ 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\left(2\right)\end{array}\\ \left(2\right)\iff 2x^2+3\left(1-y\right)x+{\left(y-1\right)}^2=0\iff \left(x+1-y\right)\left(2x+1-y\right)=0\\ \Rightarrow [\begin{array}{l}x=\frac{y-1}{2}\\ x=y-1\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}y=2x+1\Rightarrow \left(1\right)\iff x^2+{\left(2x+1\right)}^2+x+2x+1=8\iff [\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow y=-3\\ x=\frac{3}{5}\Rightarrow y=\frac{11}{5}\end{array}\\ y=x+1\Rightarrow \left(1\right)\iff x^2+{\left(x+1\right)}^2+x+x+1=8\iff 2x^2+4x-6=0\iff [\begin{array}{l}x=1;y=2\\ x=-3;y=-2\end{array}\end{array}\\ (x;y)\in \left\{\left(-2;-3\right);\left(\frac{3}{5};\frac{11}{5}\right);\left(1;2\right);\left(-3;-2\right)\right\}\end{array}$

Theo bài ra, ta có:  a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3abc Û $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 3

Đặt $\frac{1}{a}$ là x; $\frac{1}{b}$ là y; $\frac{1}{c}$ là z (x, y, z > 0; x + y + z = 3)

Suy ra: $\sqrt{\frac{a}{3b^2{c}^2+abc}}$ + $\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{3}{y^2{z}^2}+\frac{1}{xyz}}}$ + $\sqrt{\frac{y^2{z}^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}}$ = $\sqrt{\frac{y^2{z}^2}{3x+xy}}$

Suy ra: T £ $\frac{1}{2}\left(\frac{yz+zx}{x+y}+\frac{yz+yx}{x+z}+\frac{xy+zx}{y+z}\right)$ = $\frac{1}{2}$ (x + y + z) = $\frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 1