Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Lai Châu có đáp án

a) $A=\left(\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{x+\sqrt{x}}{1-x}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right)$

\(\)\( = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x  - 1 + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \left[ {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right]:\frac{{2\sqrt x }}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\)

$=\frac{2}{\sqrt{x}-1}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với $x>0;x\ne 1$.

b) $A\ge \frac{1+\sqrt{2023}}{\sqrt{2023}}\iff \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\ge \frac{1+\sqrt{2023}}{\sqrt{2023}}\iff \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{1+\sqrt{2023}}{\sqrt{2023}}\ge 0$

$\iff \frac{\sqrt{x}\sqrt{2023}+\sqrt{2023}-\sqrt{x}-\sqrt{x}.\sqrt{2023}}{\sqrt{x}.\sqrt{2023}}\ge 0\iff \sqrt{2023}-\sqrt{x}\ge 0\iff x\le 2023$

Kết hợp điều kiện $x>0;x\ne 1$ ta có $2022$ giá trị thỏa mãn điều kiện

a) $\left(2x+y\right)\left(x-y\right)+x+8y=22\iff \left(2x+y\right)\left(x-y\right)+3\left(2x+y\right)-5\left(x-y\right)=22$

$\begin{array}{l}\iff \left(2x+y\right)\left(x-y+3\right)-5\left(x-y+3\right)=7\\ \iff \left(x-y+3\right)\left(2x+y-5\right)=7\end{array}$

Khi đó ta có các khả năng sau:

KN1: $\{\begin{array}{l}x-y+3=-7\\ 2x+y-5=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=8\end{array}$

KN2: $\{\begin{array}{l}x-y+3=-1\\ 2x+y-5=-7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2\end{array}$

KN3: $\{\begin{array}{l}x-y+3=7\\ 2x+y-5=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{10}{3}\\ y=\frac{-2}{3}\end{array}\left(l\right)$

KN4: $\{\begin{array}{l}x-y+3=1\\ 2x+y-5=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{10}{3}\\ y=\frac{16}{3}\end{array}\left(l\right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $\left(x;y\right)\in \left\{\left(-2;8\right);\left(-2;2\right)\right\}$

b) ta có $a+b+c=3\iff 9={\left(a+b+c\right)}^2\ge 3\left(ab+ac+bc\right)\iff ab+ac+bc\le 3$

ta có $\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\le \frac{bc}{\left(a^2+ab+ac+bc\right)}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)$

tương tự ta có : $\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)$;$\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}\right)$

cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: $\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}\right)\le \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$

mà $a+b+c=3$ nên $\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le \frac{3}{2}$

dấu ${}^{\prime \prime }{=}^{\prime \prime }$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Vậy $\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le \frac{3}{2}$

ABC vuông tại $A$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $F$, vẽ $FE$ vuông góc với (ảnh 1)">

ABCD và $2025$ đường thẳng, biết mỗi đường thẳng thỏa mãn hai điều kiện: (ảnh 1)">