Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Nam Định có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

1) Tính giá trị biểu thức $P = 2024 + 22023 - 2025 + 22024$ .

2) Tìm tọa độ của điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $y = x + 1$ với trục $O y$ .

3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng $22 c m$ .

4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng $10 c m$ và bán kính đáy bằng $6 c m$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) $P = (2023 + 1)^{2} - (2024 + 1)^{2}$

$= 2023 + 1 - (2024 + 1) = 2023 - 2024$ .

2)Tọa độ giao điểm là $M (0; 1)$ .

3)Gọi $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

Từ giả thiết ta có $2 R = 22 \Leftrightarrow R = 2$ .

Vậy diện tích của hình tròn là $S = π R^{2} = 2 π (c m^{2})$ .

4)Gọi $h$ là chiều cao của hình nón. Từ giả thiết ta có $h = 10^{2} - 6^{2} \Leftrightarrow h = 8$ .

Vậy thể tích của hình nón là $V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π . 6^{2} .8 = 96 π (c m^{3})$ .

Câu 2

Câu tự luận

Cho biểu thức $P = (\frac{x + 2}{x x - 1} + \frac{x}{x + x + 1} - \frac{1}{x - 1}) . \frac{1}{x - 1}$ (với $x \geq 0$ và $x \neq = 1$ ).

1) Rút gọn biểu thức $P$ .

2) Tìm $x$ để $P = \frac{1}{3}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) $P = \frac{x + 2 + x ( x - 1 ) - ( x + x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + x + 1 )} . \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{x + 2 + x - x - x - x - 1}{( x - 1 ) ( x + x + 1 )} . \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + x + 1 )} . \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{1}{x + x + 1}$ .

2) $P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{x + x + 1} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow [x = 1 x = - 2 \Leftrightarrow x = 1 (l)$ .

Câu 3

Câu tự luận

1) Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 1) x + 4 m - 2 = 0 (1)$ (với $m$ là tham số).

a) Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1)$ . Tìm tất cả giá trị của $m$ để $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $13$ .

2) Giải phương trình $6 2 x + 5 + 4 x + 2 = 3 x + 20$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1 a)Ta có $Δ = (2 m + 1)^{2} - 4 (4 m - 2) = 4 m^{2} - 12 m + 9$ .

Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $Δ > 0 \Leftrightarrow m \neq = \frac{3}{2}$ .

b)Với $m \neq = \frac{3}{2}$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x = 2, x = 2 m - 1$ .

Vì $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên $2 m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$ .

Ta có $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13 \Leftrightarrow 2^{2} + (2 m - 1)^{2} = 13 \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow [m = - 1 (l) m = 2 (t m)$ .

Vậy $m = 2$ .

2) Phương trình trở thành $[(2 x + 5) - 6 2 x + 5 + 9] + [(x + 2) - 4 x + 2 + 4] = 0$

$\Leftrightarrow (2 x + 5 - 3)^{2} + (x + 2 - 2)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow {2 x + 5 - 3 = 0 x + 2 - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {x = 2 x + 2 - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 (t m)$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$ .

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B < A C)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , $A D$ là đường cao. Gọi $E$ , $F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $A B$ , $A C$ .

1) Chứng minh tứ giác $A E D F$ nội tiếp và $A E . A B = A F . A C$ .

2) Gọi $A P$ là đường kính của đường tròn $(O)$ . Chứng minh $A P$ vuông góc với $E F$ .

3) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ . Đường tròn đường kính $A H$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $T$ . Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $B T C$ . Chứng minh tam giác $H K T$ vuông tại $H$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C

nhọn

(A B < A C)

nội tiếp đường tròn tâm

O

A D

là đường cao. Gọi (ảnh 1)">

1)Ta có $A E D = 9 0^{\circ}$ , $A F D = 9 0^{\circ}$

Xét tứ giác $A E D F$ có $A E D + A F D = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ suy ra tứ giác $A E D F$ nội tiếp.

Trong tam giác vuông $A B D$ có $D E$ là đường cao suy ra $A E . A B = A D^{2} (1)$ .

Trong tam giác vuông $A C D$ có $D F$ là đường cao suy ra $A F . A C = A D^{2} (2)$ .

Từ (1) và (2) ta có $A E . A B = A F . A C$ .

2)Do $A E . A B = A F . A C \Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ , mà $B A C$ chung

Suy ra

$\Rightarrow A E F = A C B$

Ta có $B A P = B C P$

Suy ra $A E F + B A P = A C B + B C P = A C P = 9 0^{\circ}$

Vậy $A P$ vuông góc với $E F$ .

3)Ta có $A H ⊥ B C$ , $T K ⊥ B C \Rightarrow A H ∥ T K$ .

Do $B H ⊥ A C$ , $P C ⊥ A C \Rightarrow B H ∥ P C$ .

Do $C H ⊥ A B$ , $P B ⊥ A B \Rightarrow C H ∥ P B$ .

Suy ra tứ giác $B H C P$ là hình bình hành.

Gọi $I$ là trung điểm $B C$ , ta có $O I = \frac{1}{2} A H$ .

Tương tự $O I = \frac{1}{2} T K \Rightarrow A H = T K$ .

Khi đó tứ giác $A H K T$ là hình bình hành.

$\Rightarrow A T ∥ H K$ .

Mà $A T H = 9 0^{\circ} \Rightarrow T H K = 9 0^{\circ}$

Vậy tam giác $H K T$ vuông tại $H$ .

Câu 5

Câu tự luận

1) Giải hệ phương trình ${4 x^{2} + 3 - 2 y = y^{2} + 3 - 2 2 x x + 1 + 3 - x = 2 + y + 3 - x^{2}$ .

2) Xét hai số thực dương $x$ , $y$ thỏa mãn $6 x + y = 2 x y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + \frac{2}{x ^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{42}{y} + (x + y)^{2}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1)Điều kiện: $⎩ ⎨ ⎧ 0 \leq x \leq 3 y \geq 0 y + 3 - x^{2} \geq 0$ .

Phương trình (1) trở thành $4 x^{2} + 3 - y^{2} + 3 + 2 2 x - 2 y = 0$

$\Leftrightarrow (2 x - y) [\frac{( 2 x + y ) ( 2 x + y )}{4 x ^{2} + 3 + y ^{2} + 3} + 2] = 0 \Leftrightarrow y = 2 x$ .

Thay vào phương trình (2) ta được

$x + 1 + 3 - x = 2 + 2 x + 3 - x^{2}$

Đặt $t = x + 1 + 3 - x \Rightarrow 2 x + 3 - x^{2} = \frac{t ^{2} - 4}{2}$

Khi đó $t = 2 + \frac{t ^{2} - 4}{2} \Leftrightarrow t^{2} - 2 t = 0 \Leftrightarrow [t = 0 t = 2$

Với $t = 0$ ta được $x + 1 + 3 - x = 0 (v n)$ .

Với $t = 2$ ta được $x + 1 + 3 - x = 2 \Leftrightarrow (x + 1) (3 - x) = 0 \Leftrightarrow [x = - 1 (l) x = 3 (t m)$ .

Với $x = 3 \Rightarrow y = 6$ . $P = (2 x + 2 x + \frac{2}{x ^{2}}) + (\frac{1}{x} + \frac{6}{y}) + (y + \frac{36}{y}) + 2 x y \geq 3.2 + 2 + 2.6 + 26$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (3; 6)$ .

2)Ta có $P = 4 x + \frac{2}{x ^{2}} + \frac{1}{x} + y + \frac{42}{y} + 2 x y$

Do $x > 0, y > 0$ và $6 x + y = 2 x y$ nên $\frac{1}{x} + \frac{6}{y} = 2$

Mặt khác ta có $2 x y = 6 x + y \geq 2 6 x y \Rightarrow x y \geq 6$

Khi đó

$\Rightarrow P \geq 20 + 26$ .

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1, y = 6$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $20 + 26$ .