Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An có đáp án

a) Ta biến đổi phương trình như sau

\[\]$x^4-4x^3+6x^2-4x-3=0\iff \left(x^2-2x-1\right)\left(x^2-2x+3\right)=0$

$\iff x^2-2x-1=0$$\left(v\grave{i}{x}^2-2x+3={\left(x-1\right)}^2+2>2>0\right)$

$\iff x\in \left\{1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}\right\}$

Như vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}\right\}$

b) Điều kiện xác định: $x+y\ge 0,2y-x^2+2x\ge 0$

Trước hết ta có biến đổi sau

$2x-\sqrt{x+y}=\sqrt{2y-x^2+2x}\iff {\left(2x-\sqrt{x+y}\right)}^2=2y-x^2+2x$

$\iff 4x^2-4x\sqrt{x+y}+x+y=2y-x^2+2x$

$\iff 5x^2-4x\sqrt{x+y}-\left(x+y\right)=0$

$\iff 5x\left(x-\sqrt{x+y}\right)+\sqrt{x+y}\left(x-\sqrt{x+y}\right)=0$

$\iff \left(x-\sqrt{x+y}\right)\left(5x=\sqrt{x+y}\right)=0$

Lúc này, ta xét hai trường hợp sau

o   Trường hợp 1. $x-\sqrt{x+y}=0$suy ra $x=\sqrt{x+y}\left(x\ge 0\right)$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$\left(2-x\right)\sqrt{x^2+4}=2\sqrt{3}x\iff {\left(2-x\right)}^2\left(x^2+4\right)=12x^2$

$\iff \left(x^2-4x+4\right)\left(x^2+4\right)=12x^2$

$\iff x^4+4x^2-4x^3-16x+4x^2+16=12x^2$

$\iff x^4-4x^3-4x^2-16x+16=0$

$\iff \left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-6x+4\right)=0$

$\iff x^2-6x+4=0\left(v\grave{i}{x}^2+2x+2={\left(x+1\right)}^2+1>1>0\right)$

$\iff x\in \left\{3-\sqrt{5},3+\sqrt{5}\right\}$

Để ý điều kiện $0\le x\le 2$ nên $x=3+\sqrt{5}$ loại suy ra $x=3-\sqrt{5}$

Khi đó, thay vào biểu thức ta được $3-\sqrt{5}=\sqrt{3-\sqrt{5}+y}$ suy ra $y=11-5\sqrt{5}$

Thử lại, ta thấy nghiệm trên thỏa mãn

o   Trường hợp 2. $5x+\sqrt{x+y}=0$ suy ra $\sqrt{x+y}=-5x\left(x\le 0\right)$

Thay vào phương trình đầu của hệ, ta có

$7x=\sqrt{2y-x^2+2x}$

Từ đây kết hợp $x\le 0$ suy ra $x=y=0$. Thử lại, ta thấy nghiệm trên không thỏa

Như vậy, tất cả các nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left\{3-\sqrt{5},11-5\sqrt{5}\right\}$

a) Theo giả thiết ta có thể đặt như sau $x+\sqrt{2024}=a,\frac{1}{x}-\sqrt{2024}=b$ thì $a,b\in \mathbb{Z}$

Bằng các phép biến đổi ta được

     $\left(a-\sqrt{2024}\right)\left(b+\sqrt{2024}\right)=1\iff \sqrt{2024}\left(a-b\right)=2025-ab$

Vì $\sqrt{2024}$ vô tỷ và a – b, 2025 – ab nguyên nên a = b và 2025 = ab suy ra $a=b=\pm 45$

Khi đó bằng phép thế ta được

$x+\sqrt{2024}=a=\pm 45\iff x\in \left\{45-\sqrt{2024},-45-\sqrt{2024}\right\}$

Vậy tất cả giá trị x thỏa mãn là $x\in \left\{45-\sqrt{2024},-45-\sqrt{2024}\right\}$

b) Theo giả thiết $2a=b^3\left(1\right)$ và $5a=c^2\left(2\right)$ với b,c là các số nguyên dương.

Từ (1) suy ra $b^3$ chia hết cho 2, mà 2 là số nguyên tố nên b chia hết cho 2.

Đặt b = 2d, thay vào (1) được $2a=8d^3$, hay là $a=4d^3\left(3\right)$.

Từ (2) suy ra $c^2$ chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên c chia hết cho 5

Đặt c = 5e, thay vào (2) được $5a=25e^2$, hay là $a=5e^2\left(4\right)$

Từ (3) và (4) có $a=4d^3=5e^2\left(5\right)$ với d,e là các số nguyên dương. Do 4 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (5) thì $d^3$ chia hết cho 5, suy ra d chia hết cho 5

Đặt d = 5k, thay vào (5) được $a=5e^2=500k^3$ với k là số nguyên dương

Từ đó $e^2=100k^3=10^2{k}^3$. Điều này xảy ra với số k nhỏ nhất là k = 1, e = 10 và a = 500

Lúc đó $2a=1000=10^3$ và $5a=2500=50^2$ thỏa mãn bài toán

Vậy số nguyên dương a nhỏ nhất thỏa mãn là a – 500

Bằng các phép biến đổi giả thiết, ta có

$3\left(a+b+c\right)=a^2+4b^2+c^2+2ab+12-12b$

$={\left(a+b\right)}^2+c^2+3{\left(b-2\right)}^2\ge {\left(a+b\right)}^2+c^2$

Bằng biến đổi bất đẳng thức kết hợp cộng mẫu, ta được

$3\left(a+b+c\right)\ge {\left(a+b\right)}^2+c^2\ge \frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{2}$

Do đó $a+b+c\le 6$ suy ra ${\left(a+b\right)}^2+c^2\le 18$. Khi đó, bằng các phép biến đổi ta có

$T=\frac{a^3}{a+{\left(a+b\right)}^2}+\frac{a^2}{a+c^2}\ge \frac{a^2}{a+{\left(a+b\right)}^2}+\frac{a^2}{a+c^2}$

$\ge \frac{4a^2}{2a+{\left(a+b\right)}^2+c^2}$

$\ge \frac{4a^2}{2a+18}=\frac{2a^2}{a+9}\ge \frac{2a^2}{10a}=\frac{a}{5}\ge \frac{1}{5}$

Từ đây ta được $MinT=\frac{1}{5}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left(a,b,c\right)=\left(1,2,3\right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{1}{5}$

2024cm2. Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ (ảnh 1)">