Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phú Thọ có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $2 ∣ x_{1} + x_{2} ∣ = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ .$

b) Cho $x; y$ là các số thực thỏa mãn $\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{2 x + y} .$ Tính giá trị của biểu thức P = $\frac{x ^{2}}{y ^{2}} + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Xét phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - m = 0$ (1)

Ta có $Δ^{'} = [- (m - 1)]^{2} - 1. (m^{2} - m) = m^{2} - 2 m + 1 - m^{2} + m = - m + 1$

Vì phương trình (1) là phương trình bậc hai nên để PT (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thì $Δ^{'} > 0$

$\Leftrightarrow - m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 1$

Khi đó áp dụng định lí Vi ét ta có: ${x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) x_{1} x_{2} = m^{2} - m$

Theo đề bài ta có: $2 ∣ x_{1} + x_{2} ∣ = ∣ x_{1} - x_{2} ∣$

$\Leftrightarrow 4 (x_{1} + x_{2})^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$

$\Leftrightarrow 4 (x_{1} + x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$

$\Leftrightarrow 3 (x_{1} + x_{2})^{2} + 4 x_{1} x_{2} = 0$

$\Rightarrow 3 [2 (m - 1)]^{2} + 4 (m^{2} - m) = 0$

$\Leftrightarrow 3 (4 m^{2} - 8 m + 4) + 4 m^{2} - 4 m = 0$

$\Leftrightarrow 12 m^{2} - 24 m + 12 + 4 m^{2} - 4 m = 0$

$\Leftrightarrow 16 m^{2} - 28 m + 12 = 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} - 7 m + 3 = 0$

$\Leftrightarrow (m - 1) . (4 m - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [m - 1 = 0 4 m - 3 = 0 \Leftrightarrow [m = 1 m = \frac{3}{4}$

Mà $m < 1$ nên $m =$ $\frac{3}{4}$

b) Từ $\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{2 x + y}$ (đk : $x \neq = 0, y \neq = 0; 2 x + y \neq = 0)$

$\Rightarrow \frac{x - 2 y}{x y} = \frac{3}{2 x + y} \Leftrightarrow (x - 2 y) (2 x + y) = 3 x y$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + x y - 4 x y - 2 y^{2} = 3 x y$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - y^{2}) = 6 x y$

$\Leftrightarrow x^{2} - y^{2} = 3 x y$

Suy ra P = $\frac{x ^{2}}{y ^{2}} + \frac{y ^{2}}{x ^{2}} = \frac{x ^{4} + y ^{4}}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{( x ^{2} - y ^{2} ) ^{2} + 4 x ^{2} y ^{2}}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{( 3 x y ) ^{2} + 4 x ^{2} y ^{2}}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{13 x ^{2} y ^{2}}{x ^{2} y ^{2}}$ = 13

Câu 2

Câu tự luận

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn $(x^{2} - x - 1) (y^{2} + x y - 9) = 2 x + 1$

b) Cho

n

là số nguyên dương lẻ sao cho

3^{n} + 7^{n}

chia hết cho 11. Tìm số dư khi chia

2^{n} + 6^{n} + 202 3^{n}

cho 11.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Vì $(x; y)$ nguyên dương nên từ điều kiện $2 x + 1 ⋮ x^{2} - x - 1$

$2 x^{2} + x ⋮ x^{2} - x - 1$

$\Rightarrow 2 x^{2} - 2 x - 2 + 3 x + 2 ⋮ x^{2} - x - 1 \Rightarrow 3 x + 2 ⋮ x^{2} - x - 1$

Từ đó suy ra $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 1 ⋮ x^{2} - x - 1 3 x + 2 ⋮ x^{2} - x - 1 \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ 6 x + 3 ⋮ x^{2} - x - 1 6 x + 3 ⋮ x^{2} - x - 1 \Rightarrow 1 ⋮ x^{2} - x - 1$

Suy ra $[x^{2} - x - 1 = 1 x^{2} - x - 1 = - 1$

+) Với $x^{2} - x - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \Leftrightarrow [x = 2 x = - 1 (l o ai)$

Từ $x = 2 \Rightarrow (y^{2} + 2 y - 9) = 5 \Leftrightarrow (y + 1)^{2} = 15$ (loại)

+ Với $x^{2} - x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [x = 1 x = 0 (l o ai)$

Từ $x = 1 \Rightarrow - (y^{2} + y - 9) = 3 \Leftrightarrow y^{2} + y - 6 = 0 \Leftrightarrow (y + 3) (y - 2) = 0 \Leftrightarrow [y = - 3 (l o ai) y = 2$

Vậy cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn $(x^{2} - x - 1) (y^{2} + x y - 9) = 2 x + 1$ là $x; y) = (1; 2) .$

Ta có: $3^{n} + 8^{n} + 7^{n} + 4^{n} ⋮ 11$ (vì $n$ lẻ)

$\Rightarrow 4^{n} + 8^{n} ⋮ 11 \Rightarrow 4^{n} (1 + 2^{n}) ⋮ 11 \Rightarrow 2^{n} + 1 ⋮ 11$

$n = 10 k + 5 (k \in N$

Ta có $6^{n} = 6^{10 k + 5} = (6^{10})^{k} . 6^{5} \equiv - 1 (m o d 11); 202 3^{n} \equiv - 1 (m o d 11)$

Suy ra $2^{n} + 6^{n} + 202 3^{n} \equiv - 3 \equiv 8 (m o d 11)$

Vậy $2^{n} + 6^{n} + 202 3^{n} \equiv 8 (m o d 11)$

Câu 3

Câu tự luận

a) Giải hệ ${2 x - 3 y = 16 - 3 x + 9 y (1) 2 x - 3 + y + 3 = 5 y + 1 (2) (x; y \in R)$

b) Viết lên trên bảng 2023 số $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; .....; \frac{1}{2022}; \frac{1}{2023} .$ Mỗi bước ta xóa đi 2 số x,y bất kỳ trên bảng rồi viết lên bảng số $\frac{x y}{x + y + 1}$ (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng 1 số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Giải hệ ${2 x - 3 y = 16 - 3 x + 9 y (1) 2 x - 3 + y + 3 = 5 y + 1 (2) (x; y \in R)$

Điều kiện : $⎩ ⎨ ⎧ x \geq 3 y \geq - 3 x \geq 3 y$

Đặt $x - 3 y = t \geq 0$ thay vào (1) ta được

$2 t = 16 - 3 t^{2} \Leftrightarrow 9 t^{2} + 6 t + 1 = 49 \Leftrightarrow (3 t + 1)^{2} = 7^{2} \Leftrightarrow [t = 2 t = \frac{- 8}{3} (l o ai)$

Với $t = 2 \Rightarrow x - 2 y = 4$ thay vào (2) ta được $2 3 y + 1 + y + 3 = 5 y + 1 (3)$ ĐK $y \geq \frac{- 1}{5}$

Suy ra $4 y - 2 3 y + 1 + y + 1 - y + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{16 y ^{2} - 12 y - 4}{4 y + 2 3 y + 1} + \frac{y ^{2} + y - 2}{y + 1 + y + 3} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4 ( 4 y + 1 ) ( y - 1 )}{4 y + 2 3 y + 1} + \frac{( y + 2 ) ( y - 1 )}{y + 1 + y + 3} = 0$

$\Leftrightarrow (y - 1) [\frac{4 ( 4 y + 1 )}{4 y + 2 3 y + 1} + \frac{( y + 2 )}{y + 1 + y + 3}] = 0 \Leftrightarrow y = 1$

(vì $y \geq \frac{- 1}{5}$ )

Từ $y = 1 \Rightarrow x = 7$

Vậy nghiệm của hệ là $(x; y) = (7; 1)$

b) Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh với cách xóa như vậy thì dãy $\frac{1}{1}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \dots; \frac{1}{n}$ còn lại số cuối cùng là $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( + 1. ( 3 + 1 ) \dots ( n + 1 ) - 1}$ (*)

Thật vậy

Với $n = 2$ thì (*) đúng.

Giả sử đúng với $n = k$ thì dãy còn lại số $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) - 1}$

Cần chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ tức là dãy còn lại số $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) . ( k + 2 ) - 1}$

Từ giả thiết quy nạp dãy $\frac{1}{1}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \dots; \frac{1}{k}; \frac{1}{k + 1}$ với quy luật xóa thì còn lại số $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) - 1}$

Khi đó dãy $\frac{1}{1}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \dots; \frac{1}{k}; \frac{1}{k + 1}$ còn lại hai số $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) - 1}; \frac{1}{k + 1}$

Khi đó còn lại số $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) . ( k + 1 ) - ( k + 1 ) + ( k + 1 ) + ( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) - 1}$

= $\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( k + 1 ) . ( k + 2 ) - 1}$

Vậy (*) đúng.

Khi đó dãy $\frac{1}{1}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \dots; \frac{1}{2023}$ với cách xóa như vậy số cuối cùng còn lại của dãy là

$\frac{1}{( 1 + 1 ) . ( 2 + 1 ) . ( 3 + 1 ) \dots ( 2023 + 1 ) - 1} = \frac{1}{2.3.4 \dots 2024 - 1}$

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi P là giao điểm thứ hai của AD và (O).

M là điểm đối xứng với P qua AB.

a) Chứng minh tứ giác AHBM nội tiếp.

b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt (O) tại Q.

Chứng minh Q đối xứng với P qua OA.

c) Gọi K là trung điểm của EF.

Chứng minh rằng đường thẳng AK và các tiếp tuyến của (O) tại B; C đồng quy.

Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao (ảnh 1)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Ta có tứ giác $C D H E$ nội tiếp $\Rightarrow D C E + D H E = 18 0^{0}$

$A P B = A C B$ (cùng chắn cung AB)

$A P B = A M B$ (tính chất đối xứng)

$A H B = E H D$ (đối đỉnh) $\Rightarrow A M B + A H B = 18 0^{0}$ . Vậy tứ giác $A H B M$ nội tiếp

b) Ta có tứ giác $B F E C$ nội tiếp $\Rightarrow F B C = A E F = A T C \Rightarrow A C T = A Z E = 9 0^{0}$

Mà $P Q // F E$ suy ra $Q$ đối xứng với $P$ qua $O A$

c) Tiếp tuyến $B$ và $C$ cắt nhau tại $L$ , $A L$ cắt đường tròn tại $J$ . Dễ có $L B^{2} = L S . L A = L S . L O$

Suy ra tứ giác $A J S O \Rightarrow J S L = X S L \Rightarrow A S C = A B J; A J B = A C S \Rightarrow Δ A B J \sim Δ A S C$ (g.g)

Mà $Δ A B C \sim Δ A E F$ (g.g). Giả sử $A J$ cắt $F E$ tại $K^{'}$ $\Rightarrow Δ F A K^{'} \sim Δ A B S$ (g.g)

Vì $S$ là trung điểm $B C$ $\Rightarrow K^{'}$ là trung điểm $F E \Rightarrow K \equiv K^{'}$ . Vậy tiếp tuyến tại $B, C$ và $A K$ đồng quy.

Câu 5

Câu tự luận

Xét ba số $x; y; z \geq 2$ thỏa mãn $4 x y z = 9 (x + y + z) + 27$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = $\frac{x ^{2} - 4}{x} + \frac{y ^{2} - 4}{y} + \frac{z ^{2} - 4}{z}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Giải. Ta có $5 Q$ = $x 5 ( x - 2 ) ( x _ + 2 + y 5 ( y - 2 ) ( y + 2 ) + z 5 ( z - 2 ) ( z + 2 )$

$5 Q \leq$ $2 x 5 ( x - 2 ) + x + 2 + 2 y 5 ( y - 2 ) + y + 2 + 2 z 5 ( z - 2 ) + z + 2$

$\Leftrightarrow 5 Q \leq$ $2 x 6 x - 8 + 2 y 6 y - 8 + 2 z 6 z - 8$ = 9 – 4 $1 (x 1 + y 1 + z 1)$

Từ $4 x y z = 9 (x + y + z) + 27 \Leftrightarrow$ 4 = 9 $(x y 1 + y z 1 + x z 1) + x y z 27$ $\leq$ 3 $(x 1 + y 1 + z 1)^{2} + (x 1 + y 1 + z 1)^{3}$

Đặt $x 1 + y 1 + z 1 = t$

Ta có

$t^{3} + 3 t^{2} - 4 \geq 0 \Leftrightarrow t^{3} - t^{2} + 4 t^{2} - 4 t + 4 t - 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow (t - 1) (t - 2)^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow t \geq 1$

Suy ra $5 Q \leq 9 - 4.1 = 5 \Leftrightarrow Q \leq 5$

Vậy $M a x Q = 5 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x, y, z \geq 2; 4 x y z = 9 (x + y + z) + 27 5 (x - 2) = x + 2; 5 (y - 2) = y + 2; 5 (z - 2) = z + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

$\Leftrightarrow x = y = z = 3$