Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phú Yên có đáp án

a)    a) Rút gọn, tính giá trị A=$\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

Biết $\mathrm{x}=\frac{6+2\sqrt{5}}{2+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}+\frac{6-2\sqrt{5}}{2-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$.

-Rút gọn $\mathrm{A}$: Với điều kiện $\mathrm{x}\ge 0,\mathrm{x}\ne 1$, ta có:

$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}+2+\sqrt{\mathrm{x}}\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)-\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+1\right)}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}-1}:\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-1}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}=\frac{{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)}^2}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}-1}\times \frac{\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+1}$.

-Lại có: $\mathrm{x}=\frac{6+2\sqrt{5}}{2+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}+\frac{6-2\sqrt{5}}{2-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\frac{6+2\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}+1}+\frac{6-2\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}+1}=\frac{16}{4}=4$.

Do đó: $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{4}+1}{4+\sqrt{4}+1}=\frac{3}{7}$

b)     Biết $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}=\sqrt{2}$(a>1,b>1).CMR:ab-$\sqrt{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}=1$

Vì $\mathrm{a}>1,\mathrm{b}>1$ nên: $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}=\sqrt{2}\iff {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{ab}$ .

Khi đó: $\mathrm{B}=ab-\sqrt{1-a^2{b}^2+2a^2{b}^2-2ab}=ab-\sqrt{{\left(\mathrm{ab}-1\right)}^2}$.

Vì $\mathrm{a}>1,\mathrm{b}>1\Rightarrow \mathrm{ab}>\mathrm{n}\hat{\mathrm{e}}\mathrm{n}\mathrm{B}=\mathrm{ab}-\mathrm{ab}+1=1$ (điều phải chứng minh)

 

a)Giải các phương trình, hệ phương trình

$a){\left(x-\sqrt{3}\right)}^3+{\left(x+\sqrt{5}\right)}^3$+${\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}-2x\right)}^3$=0

Đặt $\mathrm{u}=\mathrm{x}-\sqrt{3},\mathrm{v}=\mathrm{x}+\sqrt{5}$, khi đó $\sqrt{3}-\sqrt{5}-2\mathrm{x}=-\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)$

PTCĐ viết lại là:${\mathrm{u}}^3+{\mathrm{v}}^3-{\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)}^3=0\iff 3\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)\mathrm{uv}=0\iff [\begin{array}{c}u+v=0\\ u=0\\ v=0\end{array}$

(1):$\mathrm{u}+\mathrm{v}=0\iff \mathrm{x}-\sqrt{3}+\mathrm{x}+\sqrt{5}=0\iff \mathrm{x}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$

(2):u = 0 $\iff \mathrm{x}=\sqrt{3}$; (3):$\mathrm{v}=0\iff \mathrm{x}=-\sqrt{5}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2};\sqrt{3};\sqrt{5}$}

Cách 2: Đặt $\mathrm{a}=\mathrm{x}-\sqrt{3}+\mathrm{x}+\sqrt{5}$, c=$\sqrt{3}-\sqrt{5}-2\mathrm{x}$. Khi đó:

${\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{c}}^3=3\mathrm{abc}$( chứng minh). Từ đó ta có nghiệm như cách 1

b)$\{\begin{array}{c}{\left(\mathrm{xy}\right)}^3+3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^3+2=6{\mathrm{y}}^2\left(1\right)\\ 3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^3={\mathrm{y}}^2+2\left(2\right)\end{array}$

Đặt$\{\begin{array}{c}u=xy\\ v=y^2\end{array}$ . Dễ thấy y$\ne 0.$ Từ(2) suy ra 3$xy=\frac{y^2+2}{y^2}>0,$ do đó ta luôn có u$>0,\mathrm{v}>0\left(3\right)$

Ta có hệ phương trình mới:$\{\begin{array}{c}{\mathrm{u}}^3+3uv+2=6v\left(4\right)\\ 3uv=v+2\left(5\right)\end{array}$

Thế (5) và (4) ta được:$v=\frac{{\mathrm{u}}^3+4}{5}$ (6)

Thế (6) vào (5) ta được:

$3{\mathrm{u}}^4-{\mathrm{u}}^3+12\mathrm{u}-14=0\iff \left(\mathrm{u}-1\right)(3{\mathrm{u}}^3+2{\mathrm{u}}^2$+$2\mathrm{u}+14)=0$(7)

Đối chiếu với điều kiện(3) thì 3$u^3+2u^2+2u+14>0$ nên(7) có nghiệm $\mathrm{u}=1$

Với $\mathrm{u}=1$, từ (6) suy ra $\mathrm{v}=1$ hay ${\mathrm{y}}^2=1\iff \mathrm{y}=\pm 1\Rightarrow \mathrm{x}=\pm 1$.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(1;1\right)$ và $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(-1;-1\right)$

Ta có biểu thức:$\Delta ={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\left(\mathrm{b}-2\mathrm{a}\right)={\left(2\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)}^2+4{\mathrm{a}}^2>0,\forall \mathrm{a}\ne 0$; do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Giả sử 2 nghiệm đã cho là ${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2$.Theo định lí Viét, ta có $\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\end{array}$

Từ giả thiết $2\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0\Rightarrow \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=2$, do đó

$-\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)-{\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2=2\left({\mathrm{x}}_1+1\right)\left({\mathrm{x}}_2+1\right)=-1$(*). Nếu 2 nghiệm đều dương thì $\left({\mathrm{x}}_1+1\right)\left({\mathrm{x}}_2+1\right)>1$, mâu thuẫn với (*).

Vậy 2 nghiệm của phương trình không thể đều dương.