Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Quảng Ninh có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho biểu thức $P = (\frac{5 + 4 x}{2 x + 5 x - 12} - \frac{2}{2 x - 3} + \frac{3}{x + 4}) : (x + \frac{5 - 6 x}{x + 4})$ với $x \geq 0, x \neq = \frac{9}{4} .$

a) Rút gọn biểu thức $P .$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $P = (\frac{5 + 4 x - 2 ( x + 4 ) + 3 ( 2 x - 3 )}{( 2 x - 3 ) ( x + 4 )}) : (\frac{x + 4 x + 5 - 6 x}{x + 4})$

$P = (\frac{8 x - 12}{( 2 x - 3 ) ( x + 4 )}) : (\frac{x - 2 x + 5}{x + 4})$

$P = \frac{4}{x + 4} . \frac{x + 4}{x - 2 x + 5} = \frac{4}{x - 2 x + 5}$ .

b) Ta có $x - 2 x + 5 = (x - 1)^{2} + 4 \Rightarrow x - 2 x + 5 \geq 4$ với $\forall x \geq 0, x \neq = \frac{9}{4} .$

Khi đó $P \leq 1$ với $\forall x \geq 0, x \neq = \frac{9}{4} .$ Dấu “ = ” xảy ra khi $x = 1$ .

Giá trị lớn nhất của $P$ là 1 khi $x = 1$

Câu 2

Câu tự luận

a) Giải phương trình $x^{2} + x - 6 = 3 (x - 2) x + 1 .$

b) Giải hệ phương trình ${x^{2} - 2 x - x y + y + 1 = 0 x^{2} + 3 x - y^{2} + 5 x - 1 - 2 = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Điều kiện: $x \geq - 1$

Ta có $x^{2} + x - 6 = 3 (x - 2) x + 1 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 3) - 3 (x - 2) x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) (x + 3 - 3 x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn đk) hoặc $x + 3 - 3 x + 1 = 0$

$x + 3 - 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 3 x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 0; x_{2} = 3$ (thỏa mãn đk)

Tập nghiệm của phương trình là $S = {0; 2; 3}$ .

b) $x^{2} - 2 x - x y + y + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 1 - y) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $y = x - 1$

Với $x = 1$ ta có phương trình $y^{2} + 4 = 2 \Leftrightarrow y = 0$

Với $y = x - 1$ ta có phương trình $x^{2} + 3 x - x^{2} + 3 x - 2 = 0$

Đặt $t = x^{2} + 3 x, t \geq 0,$ pt trở thành $t^{2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t_{1} = - 1$ (loại), $t = 2$ (thỏa mãn)

Với $t = 2$ ta được $x^{2} + 3 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 1; x_{2} = - 4$ .

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $(1; 0); (- 4; - 5)$ .

Câu 3

Câu tự luận

a) Cho $x, y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x^{2} - y$ và $x^{2} + y$ đều là các số chính phương. Chứng minh $y$ là số chẵn.

b) Tìm các số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn $a^{3} - 2 (a + b)^{2} = b^{3} + 19$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $x^{2} - y = a^{2}; x^{2} + y = b^{2}$ với $a, b$ là các số tự nhiên $\Rightarrow 2 y = b^{2} - a^{2}$

Ta có $b^{2} - a^{2}$ là số chẵn suy ra $a, b$ là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ $\Rightarrow (b - a) (b + a) ⋮ 4$ $\Rightarrow y ⋮ 2$ .

b) $a^{3} - 2 (a + b)^{2} = b^{3} + 19 \Leftrightarrow (a - b - 2) (a^{2} + ab + b^{2}) = 2 ab + 19$

Vì $2 ab + 19 > 0, a^{2} + ab + b^{2} > 0 \Rightarrow a - b - 2 \geq 1$ $\Rightarrow a - b \geq 3$

Từ $a - b - 2 \geq 1 \Rightarrow a^{2} + ab + b^{2} \leq 2 ab + 19$ $\Rightarrow (a - b)^{2} < 19$ $\Rightarrow a - b \leq 4$

Vì $2 ab + 19$ lẻ $\Rightarrow a - b - 2$ lẻ $\Rightarrow a - b$ lẻ $\Rightarrow$ $a - b = 3$

Từ $a - b = 3 \Rightarrow b^{2} + 3 b - 10 = 0$ $\Rightarrow b = - 5$ (loại) hoặc $b = 2$ . Vậy $b = 2; a = 5$ .

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ nhọn ( $A B < A C$ ) nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Hai đường cao $B D, C E$ của tam giác $A B C$ cắt nhau tại $H$ . Tia phân giác của góc $B A C$ cắt đường thẳng $B D$ và đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M$ và $I$ ( $I$ khác $A$ ). Đường thẳng $B D$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ ( $K$ khác $B$ ), hai đường thẳng $A C$ và $I K$ cắt nhau tại $Q$ , hai đường thẳng $Q H$ và $A B$ cắt nhau tại $P$ . Chứng minh:

a) Tứ giác $A M Q K$ nội tiếp;

b) Tam giác $A P Q$ cân tại A;

c) $\frac{1}{B C} + \frac{1}{D E} = \frac{1}{M Q}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $B K I = B A I$ (nội tiếp (O) cùng chắn )

mà $B A I = I A C$ $\Rightarrow M A Q = M K Q$ $\Rightarrow$ tứ giác AMQK nội tiếp

b) Tứ giác AMQK nội tiếp $\Rightarrow M Q A = M K A$ , lại có $B K A = B C A$ (nội tiếp (O) cùng chắn $A B$ ) $\Rightarrow$ $M Q A = B C A$ $\Rightarrow$ MQ // BC

H là trực tâm của $Δ$ ABC nên AH $⊥$ BC $\Rightarrow$ MQ $⊥$ AH

$Δ$ AHQ có HD $⊥$ AQ, MQ $⊥$ AH nên M là trực tâm $\Rightarrow$ AM $⊥$ HQ

$Δ$ APQ có AM là phân giác, AM là đường cao nên $Δ$ APQ cân tại A.

c) Gọi N là giao điểm của AI và CE. $A I K = A B K$ (nội tiếp (O) cùng chắn ), $A B D = A C E$ (cùng phụ với $B A C$ ) $\Rightarrow$ $N I Q = N C Q$ $\Rightarrow$ tứ giác NICQ nội tiếp $\Rightarrow$ $QN C = Q I C$

Có $B E C = B D C = 9 0^{0}$ nên tứ giác BEDC nội tiếp $\Rightarrow D E C = D B C$ , $K B C = K I C$ (nội tiếp (O) cùng chắn ) $\Rightarrow QN C = D E C$ $\Rightarrow$ NQ // ED

Tứ giác NICQ nội tiếp nên $M N Q = QC I$ , tứ giác AMQK nội tiếp nên $QM N = A K Q$ mà $A K I = A C I$ (nội tiếp (O) cùng chắn ) $\Rightarrow$ $QM N = QN M$ $\Rightarrow$ $Δ$ QMN cân $\Rightarrow$ QM = QN.

MQ // BC $\Rightarrow$ $\frac{M Q}{B C} = \frac{D Q}{D C}$ , NQ // ED $\Rightarrow$ $\frac{N Q}{E D} = \frac{C Q}{C D}$ , lại có MQ = NQ nên $\frac{M Q}{B C} + \frac{M Q}{D E} = \frac{D Q}{D C} + \frac{C Q}{C D} = 1$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{B C} + \frac{1}{D E} = \frac{1}{M Q}$ .

Câu 5

Câu tự luận

Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng $a^{2} + b^{2}$ trong đó $a, b$ là các số nguyên. Mỗi lần ta thực hiện một phép biến đổi như sau: Xóa hai số tùy ý rồi viết thêm một số bằng tích của hai số vừa xóa. Hỏi sau một số lần biến đổi, trên bảng có số bằng $26. 3^{2023}$ hay không? Giải thích tại sao?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Do đẳng thức $(x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2}) = (x z + y t)^{2} + (x t - y z)^{2}$ nên sau mỗi lần biến đổi, các số trên bảng luôn có dạng $a^{2} + b^{2}$

Do $a^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 8)$ nên $a^{2} + b^{2} \equiv 0, 1, 2, 4, 5 (mod 8)$

Vì $26. 3^{2023} \equiv 26.3. 9^{1011} \equiv 6 (mod 8)$ nên số $26. 3^{2023}$ không có trên bảng.