Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Quốc Học Huế có đáp án

a) Chứng minh giá trị của biểu thức  $P=\left(\frac{2+\sqrt{a}}{a+2\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{a-1}\right):\frac{\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+a-\sqrt{a}-1}$ không phụ thuộc vào giá trị của a, với $a>0$ và $a\ne 1$.

Với $a>0,a\ne 1$ ta có: $P=\left[\frac{2+\sqrt{a}}{{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right]:\frac{\sqrt{a}}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}$

$=\left[\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right){\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}\right].\frac{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}$

$=\left[\frac{2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right){\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}\right].\frac{\left(\sqrt{a}-1\right){\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}{\sqrt{a}}=2.$ Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a.

b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn $\frac{4}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh $Q=a^2+4b^2+16c^2$ là một số chính phương.

Ta có $\frac{4}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{c}\iff ab=2ac+4bc\iff ab-2ac-4bc=0.$

Khi đó $Q=a^2+4b^2+16c^2=a^2+4b^2+16c^2+4\left(ab-2ac-4bc\right)$

$=(a+2b-4c{)}^2$ là một số chính phương.

a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho parabol $\left(P\right):y=2x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x+m$. Tìm tất cả các giá trị của $$m$$ để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

$2x^2=\frac{1}{2}x+m\iff 4x^2-x-2m=0$ (1).

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B $\iff$ (1) có hai nghiệm phân biệt

$\iff \Delta =1+32m>0\iff m>-\frac{1}{32}$.

Vì tam giác $OAB$ vuông tại A nên $OA\perp AB$, hay $OA\perp (d)$.

Mặt khác, đường thẳng OA đi qua O nên OA có phương trình là $y=-2x$.

Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (P): $2x^2=-2x$.

Phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x_2=-1$, suy ra $A(-1;2)$.

Vì (d) đi qua A nên $2=\frac{1}{2}.(-1)+m$, suy ra $m=\frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m=\frac{5}{2}$ là giá trị cần tìm.

b) Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}\sqrt{x-2y-3}+2y^2+4y=0<\mathrm{span}></span>(1)\\ x^2+1=xy<\mathrm{span}></span>(2)\end{array}.$$

Dễ thấy $x=0$ không thỏa (2) nên $(2)\iff y=x+\frac{1}{x}$. Thay vào (1), ta được

$\sqrt{-x-\frac{2}{x}-3}+2{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2+4\left(x+\frac{1}{x}\right)=0$

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{-x-\frac{2}{x}-3}+2\left(x^2+2x+1\right)+2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}+1\right)=0\\ \iff \sqrt{-x-\frac{2}{x}-3}+2{\left(x+1\right)}^2+2{\left(\frac{1}{x}+1\right)}^2=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff -x-\frac{2}{x}-3=x+1=\frac{1}{x}+1=0\\ \iff x=-1.\end{array}$

Với $x=-1$, ta suy ra $y=-2$.

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)=(-1;-2)$.

a) Tìm m để phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-m^2+2m-3=0$ (x là ẩn số) có hai nghiệm$x_1,x_2$ thỏa mãn $\sqrt{x_1^2+1}-x_1=\sqrt{x_2^2+1}+x_2$.

Ta có $ac=-{\left(m-1\right)}^2-2<0$, với mọi m.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có $\sqrt{x_1^2+1}-x_1=\sqrt{x_2^2+1}+x_2\iff \sqrt{x_1^2+1}-\sqrt{x_2^2+1}=x_1+x_2$

$\iff \frac{x_1^2-x_2^2}{\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}}=x_1+x_2\iff \frac{\left(x_1^{}-x_2^{}\right)\left(x_1+x_2\right)}{\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}}=x_1+x_2$

$\iff [\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ \sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=x_1-x_2\end{array}.$

TH1: $x_1+x_2=0\iff 2(m-1)=0\iff m=1$.

TH2: $\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=x_1-x_2\iff \left(\sqrt{x_1^2+1}-x_1\right)+\left(\sqrt{x_2^2+1}+x_2\right)=0$ (vô lý).

Vậy $m=1$.

b) Giải phương trình $2\left(\sqrt{x+9}-3\right)\left(\sqrt{9-x}+3\right)=9.$

Điều kiện: $-9\le x\le 9$.

Ta có $\left(\sqrt{x+9}-3\right)\left(\sqrt{9-x}+3\right)=\frac{9}{2}\iff \sqrt{81-x^2}+3\left(\sqrt{x+9}-\sqrt{9-x}\right)-\frac{27}{2}=0.$

Đặt $t=\sqrt{x+9}-\sqrt{9-x}$, suy ra $t^2=18-2\sqrt{81-x^2}$, ta có phương trình

$\frac{18-t^2}{2}+3t-\frac{27}{2}=0\iff -\frac{t^2}{2}+3t-\frac{9}{2}=0\iff -\frac{1}{2}(t-3{)}^2=0\iff t=3$.

Với $t=3$, ta có $\sqrt{x+9}-\sqrt{9-x}=3\iff \sqrt{x+9}=3+\sqrt{9-x}$

$\iff x+9=18-x+6\sqrt{9-x}\iff 6\sqrt{9-x}=2x-9$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{9}{2}\\ 36(9-x)=4x^2-36x+81\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{9}{2}\\ 4x^2=243\end{array}\iff x=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $S=\left\{\frac{9\sqrt{3}}{2}\right\}$.

AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao (ảnh 1)">

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho $a+\sqrt{2023}$ và $\frac{999}{a}+\sqrt{2023}$ đều là các số nguyên.

Đặt $$\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2023}\\ y=\frac{999}{a}+\sqrt{2023}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=x-\sqrt{2023}\\ y=\frac{999}{x-\sqrt{2023}}+\sqrt{2023}\end{array}.$$

Ta có $$y=\frac{999}{x-\sqrt{2023}}+\sqrt{2023}\iff xy-y\sqrt{2023}=999+x\sqrt{2023}-2023$$

$$\iff xy+1024=\left(x+y\right)\sqrt{2023}$$.

Vì x, y nguyên nên $x+y=0$, suy ra $y=-x$ và $xy+1024=0$.

Do đó $x=\pm 32$. Vậy $a=\pm 32-\sqrt{2023}$.

b) Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $4a^2+b^2=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$T=\frac{4a}{2+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{2024}{2a+b}$.

Ta có $$4a^2+b^2\ge 4ab\iff 2\left(4a^2+b^2\right)\ge {\left(2a+b\right)}^2$$

$\iff 4\ge {\left(2a+b\right)}^2\iff 2a+b\le 2\iff a+\frac{b}{2}\le 1$.

Đặt $x=a;y=\frac{b}{2}$ , ta có $x+y\le 1$.

Khi đó $\frac{1}{2}T=\frac{a}{1+\frac{b}{2}}+\frac{b}{2\left(1+a\right)}+\frac{506}{a+\frac{b}{2}}=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{506}{x+y}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

• $\frac{x}{1+y}+\frac{4}{9}x\left(1+y\right)\ge \frac{4}{3}x\iff \frac{x}{1+y}\ge \frac{8}{9}x-\frac{4}{9}xy$.

• $\frac{y}{1+x}+\frac{4}{9}y\left(1+x\right)\ge \frac{4}{3}y\iff \frac{y}{1+x}\ge \frac{8}{9}y-\frac{4}{9}xy$.

Suy ra $\frac{1}{2}T\ge \frac{8}{9}\left(x+y\right)-\frac{8}{9}xy+\frac{506}{x+y}\ge \frac{8}{9}\left(x+y\right)+\frac{8}{9(x+y)}+\frac{4546}{9(x+y)}-\frac{8}{9}xy$.$\ge \frac{8}{9}.2+\frac{4546}{9}-\frac{8}{9}.\frac{1}{4}=\frac{1520}{3}$. ( để ý $xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4}$)

Do đó $T\ge \frac{3040}{3}$. Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$ hay $a=\frac{1}{2};b=1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng $\frac{3040}{3}$ đạt được khi $a=\frac{1}{2};b=1$.