Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Tin Phú Thọ có đáp án

a)Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ $$\iff {\Delta }^{\prime }=1-m>0\iff m<1.$$

Xét $2\left|x_1+x_2\right|=\left|x_1-x_2\right|$ $$\iff 4{\left(x_1+x_2\right)}^2={\left(x_1-x_2\right)}^2$$$$\iff 3{\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2=0.$$

Áp dụng định lý Vi–ét, ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=m^2-m\end{array}$$

Ta được $$12{\left(m-1\right)}^2+4\left(m^2-m\right)=0$$$$\iff 4m^2-7m+3=0.$$

$\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{3}{4}\end{array}$. Kết hợp với điều kiện, giá trị $$m=\frac{3}{4}$$ thỏa mãn.

b)Ta có: $\frac{1}{y}-\frac{2}{x}=\frac{3}{2x+y}\iff \left(x-2y\right)\left(2x+y\right)=3xy\iff 2x^2-6xy-2y^2=0.$

$\iff \frac{x}{y}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ hoặc $\frac{x}{y}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.$

Với $\frac{x}{y}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3+\sqrt{13}}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$. Ta được $P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}={\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}^2-2=11.$

Với $\frac{x}{y}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3-\sqrt{13}}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$. Ta được $P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}={\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}^2-2=11.$

a)Vì $$\left(x^2-x-1\right)\left(y^2+xy-6\right)=2x+1$$ nên $\left(2x+1\right)⋮\left(x^2-x-1\right)$

$\Rightarrow \left(2x+1\right)\left(2x-3\right)⋮\left(x^2-x-1\right)$

$\Rightarrow \left(4x^2-4x-3\right)⋮\left(x^2-x-1\right)$

$\Rightarrow \left[4\left(x^2-x-1\right)+1\right]⋮\left(x^2-x-1\right)$

$\Rightarrow 1⋮\left(x^2-x+1\right)$

$\Rightarrow \left(x^2-x-1\right)\in \left\{-1;1\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{0;1;-1;2\right\}$, mà $x$nguyên dương $\Rightarrow x\in \left\{1;2\right\}.$

Với $x=1$, ta có phương trình: $y^2+y-9=-3$$\iff y=2$ hoặc $y=-3<0$(không thỏa mãn)

Với $x=2$, ta có phương trình: $y^2+2y-9=5\iff y^2+2y-14=0$ (loại do phương trình có 2 nghiệm không nguyên).

Thử lại $\left(x;y\right)=\left(1;2\right)$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$cần tìm là $\left(1;2\right)$.

b)- Với $n=1\Rightarrow 3^n+7^n=3+7=10\cancel{⋮}11$ (không thỏa mãn).

- Với $n=3\Rightarrow 3^n+7^n=3^3+7^3=370\cancel{⋮}11$ (không thỏa mãn).

- Với $n=5\Rightarrow 3^n+7^n=3^5+7^5=17050⋮11$ (thỏa mãn).

Suy ra $n\ge 5$. Giả sử $n=5k+r\left(0\le r\le 4\right)$.

Ta có $3^{5k+r}+7^{5k+r}={\left(3^5\right)}^k.3^r+{\left(7^5\right)}^k.7^r\equiv 3^r+7^r.{\left(-1\right)}^k⋮11$ với $r=0,1,2,3,4$.

- Khi $r=0$$\Rightarrow 3^r+7^r.{\left(-1\right)}^k=1+{\left(-1\right)}^k⋮11$ xảy ra khi $k$ lẻ.

- Khi $r=1$$\Rightarrow 3^r+7^r.{\left(-1\right)}^k=3+7.{\left(-1\right)}^k\cancel{⋮}11$ với mọi $k$.

- Khi $r=2$$\Rightarrow 3^r+7^r.{\left(-1\right)}^k=3^2+7^2.{\left(-1\right)}^k\cancel{⋮}11$ với mọi $k$.

- Khi $r=3$$\Rightarrow 3^r+7^r.{\left(-1\right)}^k=3^3+7^3.{\left(-1\right)}^k\cancel{⋮}11$ với mọi $k$.

- Khi $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};\dots ;\frac{1}{2023}$ với mọi  $k$

Vậy $n=5k$ (lẻ).

Khi đó $2^n+6^n+{2023}^n={\left(2^5\right)}^k+{\left(6^5\right)}^k+{\left(2023\right)}^{5k}\equiv {\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k+{\left(-1\right)}^k\left(\mathrm{mod}11\right)$ $\equiv -3\left(\text{mod}11\right)$

Vậy $2^n+6^n+2023^n$ chia $11$ có số dư là $8.$

ABC với $AB<AC$ nội tiếp đường tròn (ảnh 1)">

Sử dụng bất đẳng thức: Với $a,b,c\ge 0,$ ta có $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3(a+b+c)}.$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$Q=\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{4}{y^2}}+\sqrt{1-\frac{4}{z^2}}\le \sqrt{3\left[3-4\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\right]}=\sqrt{9-12\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}$

Lại có $$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge \frac{1}{3}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^2.$$

Suy ra $Q\le \sqrt{9-4{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^2}.$

Từ giả thiết $4xyz=9(x+y+z)+27\iff 9\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{27}{xyz}=4(\ast )$

Với $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le \frac{1}{3}.{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^2$và $\frac{1}{xyz}\le \frac{1}{27}.{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^3$

Từ (*) ta có $$3{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^2+{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^3\ge 4\left(\ast \ast \right)$$

Đặt $t=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0$.

Khi đó $(\ast \ast )\iff$ $$t^3+3t^2-4\ge 0\iff \left(t-1\right){\left(t+2\right)}^2\ge 0\iff t\ge 1$$ (do ${\left(t+2\right)}^2>0$).

Suy ra $Q\le \sqrt{9-4{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^2}\le \sqrt{9-{4.1}^2}=\sqrt{5}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3.$

Vậy giá trị lớn nhất của $Q$ là $\sqrt{5}.$

a)Điều kiện: $$x-3y\ge 0;x\ge 3;y\ge -3.$$

Ta có:

$$\begin{array}{l}(1)\iff 3(x-3y)+2\sqrt{x-3y}-16=0\iff \left(\sqrt{x-3y}-2\right)\left(3\sqrt{x-3y}+8\right)=0\iff \sqrt{x-3y}=2\\ \iff x=4+3y.\end{array}$$

Thế $$x=3y+4$$ vào phương trình (2) ta được $$2\sqrt{3y+1}+\sqrt{y+3}=5y+1\iff 2\left(\sqrt{3y+1}-2\right)+\left(\sqrt{y+3}-2\right)=5y+1-6$$

$$\iff 2\frac{3\left(y-1\right)}{\sqrt{3y+1}+2}+\frac{y-1}{\sqrt{y+3}+2}-5\left(y-1\right)=0\iff \left(y-1\right)\left(\frac{6}{\sqrt{3y+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+2}-5\right)=0<\mathrm{span}></span>\left(\ast \right)$$

Nhận thấy $\frac{6}{\sqrt{3y+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+2}-5<3+\frac{1}{2}-5<0$ với mọi $y\ge -3.$

Do đó $\left(\ast \right)$ có nghiệm duy nhất $y=1$(thỏa mãn).

Với $$y=1$$ ta được $$x=7$$(thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(7;1\right).$

b)Đặt $$z=\frac{xy}{x+y+1}\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\Rightarrow \frac{1}{z}+1=\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)\left(1\right).$$

Với mỗi tập các số dương $$\left\{x_1;x_2;...x_n\right\}$$tùy ý, xét biểu thức:

$$P\left(x_1;x_2;...x_n\right)=\left(\frac{1}{x_1}+1\right)\left(\frac{1}{x_2}+1\right)....\left(\frac{1}{x_n}+1\right).$$

Từ $\left(1\right)$ suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì $x,y$ rồi viết lên bảng số $$\frac{xy}{x+y+1}$$các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức $P$ của các số trên bảng không đổi.

Gọi số cuối cùng là a $$\Rightarrow P(a)=P\left(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{2022};\frac{1}{2023}\right)$$

$$\Rightarrow \frac{1}{a}+1=\left(\frac{1}{1}+1\right).\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}+1\right)...\left(\frac{1}{\frac{1}{2022}}+1\right).\left(\frac{1}{\frac{1}{2023}}+1\right)=2024!\Rightarrow a=\frac{1}{2024!-1}.$$

Vậy số còn lại trên bảng là $$a=\frac{1}{2024!-1}.$$