Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Đà Nẵng có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

a)Tính $A = 4 + 20 - 5 - 2$ .

b) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + x}) : \frac{x - 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ với $x > 0$ và $x \neq = 1$ . Rút gọn biểu thức $B$ và so sánh giá trị của ${\rm{B}\({\rm{m}}$}\) với 1

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a)Tính $A = 4 + 20 - 5 - 2$

Ta có:

$A = 4 + 20 - 5 - 2 = 2^{2} + 2^{2} \cdot 5 - 5 - 2 = 2 + 25 - 5 - 2 = (2 - 2) + (25 - 5) = 5$

Vậy $A = 5$ .

b) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + x}) : \frac{x - 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ với $x > 0, x \neq = 1$ . Rút gọn biểu thúc $B$ và so sánh giá trị của $B$ với 1 .

Điều kiện xác định: $x > 0, x \neq = 1$ .

$B = (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x ( x + 1 )}) : \frac{x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} B = (\frac{x}{x ( x + 1 )} - \frac{1}{x ( x + 1 )}) : \frac{x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} B = \frac{x - 1}{x ( x + 1 )} \cdot \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x - 1} = \frac{x + 1}{x}$

Ta có: $B = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x} > 1; \forall x > 0, x \neq = 1$ .

Vậy với $x > 0, x \neq = 1$ thì $B = \frac{x + 1}{x} > 1$ .

Câu 2

Câu tự luận

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị $(P)$ .

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Đường thằng $y = - x + b$ (với $b > 0$ ) lần lượt cắt các tia $Ox, Oy$ tại $E, F$ . Chứng minh rằng tam giác $OEF$ vuông cân và tìm $b$ đề tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $OEF$ là một điểm thuộc $(P)$ , với $O$ là gốc tọa độ.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị $(P)$ .

a) Vẽ đồ thị (P).

Ta có bảng giá trị sau:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$	$2$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

$O (0; 0); A (- 2; 2); B (- 1; \frac{1}{2}); C (1; \frac{1}{2}); D (2; 2)$

Hệ số $a = \frac{1}{2} > 0$ nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ như sau:

Cho hàm số y = 1/2 x ^2 có đồ thị (P) (ảnh 1)

a) Đường thẳng $y = - x + b$ (với $b > 0$ ) lần lượt cắt $O x,$ $O y$ tại $E, F$ . Chứng minh rằng tam giác $O E F$ vuông cân và tìm $b$ để tâm đuờng tròn ngoại tiếp tam giác $O E F$ là gốc tọa độ.

Cho $y = 0 \Rightarrow - x + b = 0 \Leftrightarrow x = b$

$\Rightarrow$ Đường thẳng $y = - x + b$ cắt $Ox$ tại $E (b; 0)$ .

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 0 + b = b$

$\Rightarrow$ Đường thẳng $y = - x + b$ cắt $Oy$ tại $F (0; b)$ .

Xét $Δ O E F$ có: ${O E ⊥ O F (do O x ⊥ O y) O E = O F = b (do b > 0) \Rightarrow Δ O E F$ vuông cân tại $O$ .

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ O E F$ là trung điểm cạnh huyền $E F$ .

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ O E F$ là $H$ .

Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $O x, O y$ .

Ta có ${H M ⊥ O x O F ⊥ O x \Rightarrow H M // O F$ (từ vuông góc đến song song).

Mà $H$ là trung điểm của $E F$ $\Rightarrow M$ là trung điểm của $O E$ (Tính chất đường trung bình của tam giác).

$\Rightarrow H M$ là đường trung bình của tam giác $O E F \Rightarrow H M = \frac{1}{2} O F = \frac{b}{2}$ .

Chứng minh tương tự ta tính được $H N = \frac{b}{2}$ $\Rightarrow H (\frac{b}{2}; \frac{b}{2})$

Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $O E F$ là một điểm thuộc $(P) \Leftrightarrow H (\frac{b}{2}; \frac{b}{2}) \in (P)$ .

$\Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{b}{2})^{2} \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{b ^{2}}{8} \Leftrightarrow b^{2} - 4 b = 0 \Leftrightarrow b (b - 4) = 0 \Leftrightarrow [b = 0 (L) b = 4 (T M)$

Vậy $b = 4$ là giá trị cần tìm.

Câu 3

Câu tự luận

a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này lớn hơn số kia 1 đơn vị. Tìm hai số đó.

b) Hai đội công nhân cùng dọn vệ sinh khu vực khán đài Lễ hội Pháo hoa quốc tế Đà Nã̃ng trong 1 giờ 12 phút thì xong. Nếu đội $A$ làm 40 phút và đội $B$ làm 2 giờ thì xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị. Tim hai số đó.

Gọi số thứ nhất là $a$ , số thứ hai là $b$ .

Theo đề bài:

Tổng của hai số bằng 23 , ta có phương trình: $a + b = 23$ ;

Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị, ta có phương trình: $2 a - b = 1$ .

Theo bài ra ta có hệ phương trình: ${a + b = 23 2 a - b = 1 \Leftrightarrow {a + b = 23 3 a = 24 \Leftrightarrow {a + b = 23 a = 8 \Leftrightarrow {a = 8 b = 15$

Vậy số thứ nhất là 8 , số thứ hai là 15 .

b) Đổi 1 giờ 12 phút $= \frac{6}{5} h; 40$ phút $= \frac{2}{3} h$

Gọi thời gian đội $A$ làm riêng hoàn thành công việc là $x (h), (x > \frac{6}{5})$

Thời gian đội $B$ làm riêng hoàn thành công việc là $y (h); (y > \frac{6}{5})$

Trong 1 giờ, đội $A$ làm được $\frac{1}{x}$ công việc; đội $B$ làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

$\Rightarrow$ Trong 1 giờ hai đội cùng làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút $= \frac{6}{5} h$ xong công việc nên ta có phương trình: $\frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

Theo đề bài, nếu đội $A$ làm 40 phút $= \frac{2}{3} h$ và đội $B$ làm 2 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: $\frac{2}{3 x} + \frac{2}{y} = 1$

Ta có hệ phương trình: ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \frac{2}{3 x} + \frac{2}{y} = 1$ .

Đặt ${u = \frac{1}{x} v = \frac{1}{y}$ Hệ phương trình trở thành

${u + v = \frac{5}{6} \frac{2}{3} u + 2 v = 1 \Leftrightarrow {v = \frac{5}{6} - u \frac{2}{3} u + 2 v = 1 \Leftrightarrow {v = \frac{5}{6} - u \frac{2}{3} u + 2 (\frac{5}{6} - u) = 1$ $\Leftrightarrow {v = \frac{5}{6} - u \frac{2}{3} u + \frac{5}{3} - 2 u = 1 \Leftrightarrow {v = \frac{5}{6} - u \frac{4}{3} u = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {v = \frac{5}{6} - u u = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {v = \frac{1}{3} u = \frac{1}{2} \Rightarrow {\frac{1}{x} = \frac{1}{2} \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x = 2 y = 3$

Vậy thời gian đội $A$ làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội $B$ làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.

Câu 4

Câu tự luận

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 2 m + 5 = 0 (*)$ , với là tham số.

a) Giải phương trình $(*)$ khi $m = 1$ .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $4 x_{1}^{2} + 4 m x_{1} + m^{2} + x_{2}^{2} + 4 m x_{2} + 4 m^{2} = 7 m + 2$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 2 m + 5 = 0 (*)$ , với $m$ là tham số.

a) Giải phurơng trinh (*) khi $m = 1$ .

Thay $m = 1$ vào phương trình $(*)$ ta được:

$x^{2} - 2 (1 + 1) x + 1 - 2 + 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 2)^{2} = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy khi $m = 1$ phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$ .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn $4 x_{1}^{2} + 4 m x_{1} + m^{2} + x_{2}^{2} + 4 m x_{2} + 4 m^{2} = 7 m + 2.$

Ta có: $Δ^{'} = (m + 1)^{2} - (m^{2} - 2 m + 5) = m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} + 2 m - 5 = 4 m - 4$

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thì $Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 4 m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 1$ .

Theo đề cho: $4 x_{1}^{2} + 4 m x_{1} + m^{2} + x_{2}^{2} + 4 m x_{2} + 4 m^{2} = 7 m + 2$

$\Leftrightarrow (2 x_{1} + m)^{2} + (x_{2} + 2 m)^{2} = 7 m + 2$

$\Leftrightarrow ∣ 2 x_{1} + m ∣ + ∣ x_{2} + 2 m ∣ = 7 m + 2$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: ${x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) = 2 m + 2 > 0 (do m > 1) x_{1} x_{2} = m^{2} - 2 m + 5 = (m - 1)^{2} + 4 > 0 \forall m$

$\Rightarrow {x_{1} > 0 x_{2} > 0 \forall m > 1 \Rightarrow {2 x_{1} + m > 0 x_{2} + 2 m > 0 \forall m > 1$

Khi đó ta có: $∣ 2 x_{1} + m ∣ + ∣ x_{2} + 2 m ∣ = 7 m + 2 \Leftrightarrow 2 x_{1} + m + x_{2} + 2 m = 7 m + 2$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} + x_{2} = 4 m + 2 \Leftrightarrow 2 m + 2 + x_{1} = 4 m + 2 \Leftrightarrow x_{1} = 2 m \Rightarrow x_{2} = 2 m + 2 - x_{1} = 2 \Rightarrow x_{1} x_{2} = 4 m = m^{2} - 2 m + 5 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 = 0$

Ta có $a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $[m_{1} = 1 (k t m) m_{2} = 5 (t m)$

Vậy $m = 5$ thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 5

Câu tự luận

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $A C, B D$ ( $A$ khác $B, D$ ). Trên đoạn thẳng $B C$ lấy điểm $E$ ( $E$ khác $B, C$ ), đường thẳng $E D$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $F$ .

a) Chứng minh rằng $A B = C D$ và $C F D = B C A$ .

b) Đường thẳng qua $E$ , vuông góc với $B C$ cắt tia $A F$ tại $G$ . Chứng minh rằng tứ giác $C E F G$ nội tiếp và $C D . E G = C B . C E$ .

c) Gọi $H$ là giao điểm của tia $GE$ và $A D$ . Đường thẳng qua $H$ , song song với $A C$ cắt đường thẳng qua $E$ , song song với $F C$ tại $K$ . Chứng minh rằng ba điểm $G, C, K$ thẳng hàng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho đường tròn (O)có hai đường kính (AC,BD) A khác <span class=

B, D

). Trên đoạn thẳng BC lấy điểm E ,E khác B đường thẳng (ED) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là (F). (ảnh 1)">

a) Chứng minh rằng xxxxxx $A B = C D$ và xxx $C F D = B C A$ .

+) Chứng minh xxxx $A B = C D$

Xét xxx $Δ A O B$ và xxxxx $Δ C O D$ có:

xxxx $O A = O C (= R)$

xxxx $O_{1} = O_{2}$ (hai góc đối đỉnh)

xxxx $O B = O D (= R)$

Do đó xxx $Δ A O B = Δ C O D (c .g .c)$ .

Suy ra xxxx $A B = C D$ (hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).

+) Chứng minh xxxx $C F D = B C A$

Ta có xxxx $C F D = C B D$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung xxxx $C D$ )

Lại có xxxxx $O B = O C = R$ nên xxxx $Δ O B C$ cân tại xxxx $O$ .

Suy ra xxx $O B C = O C B$ (tính chất tam giác cân).

Do đó xxxx $C B D = B C A$ .

Vậy xxxx $C F D = B C A$ (điều phải chứng minh).

b) Đường thẳng qua xxxx $E$ , vuông góc với xxxx $B C$ cắt tia xxxx $A F$ tại xxxx $G$ . Chứng minh rằng tứ giác xxxx $C E F G$ nội tiếp và xxxxxx $C D . E G = C B . C E$ .

+) Chứng minh tứ giác xxxx $C E F G$ nội tiếp

Ta có xxx $A F C = 9 0^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra xxxx $C F G = 9 0^{\circ}$ .

Xét tứ giác xxx $C E F G$ có: xxx $C F G = C E G = 9 0^{\circ}$ .

Mà hai đỉnh xxxxx $E, F$ kề nhau cùng nhìn dưới xxxxxxxxx $C G$ dưới hai góc bằng nhau.

Do đó tứ giác xxx $E F GC$ nội tiếp (điều phải chứng minh).

+) Chứng minh xxx $C D . E G = C B . C E$

Ta có xxxxx.

Xét xxx $Δ A GC$ và xxxx $Δ A C F$ có:

xxxxxx $C A G$ chung

xxx $A GC = A C F$ (cmt)

Do đó xxxxx.

Suy ra xxxx $A C G = A F C = 9 0^{\circ}$ (hai góc tương ứng)

Hay xxxx $C G ⊥ A C$ .

Do đó xxxx $C G$ là tiếp tuyến của đường tròn xxxx $(O)$ tại xxxx $C$ .

Ta có xxx $B C D = 9 0^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra xxxxx $B C D = GE C = 9 0^{\circ}$

Xét xxxx $Δ B C D$ và xxxxx $Δ GE C$ có:

xxxx $B C D = GE C = 9 0^{\circ}$ (cmt)

xxxx $B D C = GC E$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung xxxxxx $B C$ )

Do đó xxxx.

Suy ra xxxx $\frac{C B}{C D} = \frac{E G}{C E}$ hay xxxxxxx $C D . E G = C B . C E$ (điều phải chứng minh)

c) Gọi xxxx $H$ là giao điểm của tia xxx $GE$ và xxxx $A D$ . Đường thẳng qua xxxxx $H$ , song song với xxxx $A C$ cắt đường thẳng qua xxx $E$ , song song với xxxx $F C$ tại xxx $K$ . Chứng minh rằng ba điểm xxx $G, C, K$ thẳng hàng.

Ta có tứ giác xxxx $E F GC$ nội tiếp (cmt)

Suy ra xxxx $E GC = E F C = D F C$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung xxx $E C$ ).

Mà xxxxx $D F C = D A C$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung xxxxx $C D$ ).

Nên xxxx $E GC = D A C \Rightarrow H GC = H A C$ .

Mà hai đỉnh xxxxxxxxx $A, G$ cùng nhìn xx $H C$ dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác xx $A GC H$ nội tiếp.

Suy ra xxx $A C H = F C E$

Ta có: xx $E K // F C \Rightarrow F C E = C E K$ (hai góc so le trong)

xxxx $H K // A C \Rightarrow A C H = C H K$ (hai góc so le trong)

Do đó xxxx $C E K = C H K$ .

Mà hai đỉnh xxx $E, H$ kề nhau cùng nhìn xxx $C K$ dưới hai góc bằng nhau.

Suy ra tứ giác xx $C E H K$ nội tiếp.

Do đó xxxx $H E C + M K C = 18 0^{\circ}$

Mà xx $H E C = 9 0^{\circ}$ (do xxx $G H ⊥ B C$ tại xxxx $E$ )

Nên xxxx $H K C = 9 0^{\circ}$ hay xxx $C K ⊥ H K$ .

Mà xxxxx $H K // A C \Rightarrow C K ⊥ A C$ (từ vuông góc đến song song).

Mà xxxxx $C G ⊥ A C$ (cmt).

Vậy ba điểm xxxx $G, C, K$ thẳng hàng.