Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Nội có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho hai biểu thức : $A = \frac{x + 2}{x}$ và $B = \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{3 - x}{x - 1}$ với $x > 0; x \neq = 1$

1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh $B = \frac{2 x}{x + 1}$

3) Tìm tất cả các giá trị của x để $A . B = 4$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:

$A = \frac{9 + 2}{9}$ $\Rightarrow A = \frac{9 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Vậy khi $x = 9$ thì $A = \frac{11}{3}$

b) Với $x > 0, x \neq = 1.$ ta có: $B = \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{3 - x}{x - 1}$

$= \frac{( 2 x - 3 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{3 - x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x + 2 x - 3 x - 3 + 3 - x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x - 2 x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x}{x + 1}$

Vậy $B = \frac{2 x}{x + 1}$ ( đpcm)

c) với $x > 0, x \neq = 1.$ ta có: $A . B = \frac{x + 2}{x} . \frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x + 4}{x + 1}$

đề $A . B = 4 \Leftrightarrow \frac{2 x + 4}{x + 1} = 4$ $\Leftrightarrow \frac{2 x + 4}{x + 1} = \frac{4 ( x + 1 )}{x + 1}$

$\Rightarrow 2 x + 4 = 4 x + 4 \Leftrightarrow 2 x - 4 x = 0 \Leftrightarrow 2 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [2 x = 0 x - 2 = 0 \Leftrightarrow [x = 0 x = 4$

Đối chiếu với điều kiện ta được $x = 4$ là giá trị cần tìm.

Câu 2

Câu tự luận

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoăc hệ phuơng trình:

Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)

2) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là $30 cm$ và chiều cao là $120 cm$ . Tính thể tích của khối gỗ đó. (lấy $π \approx 3, 14)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm), $x \in N *, x < 900$ .

Thời gian phân xưởng phải hoàn thành theo kế hoạch là $\frac{900}{x}$ (ngày)

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng làm được $x + 15$ (sản phẩm)

Thời gian phân xưởng hoàn thành trên thực tế là $\frac{900}{x + 15}$ (ngày)

Vì phân xưởng hoàn thành trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{900}{x} - \frac{900}{x + 15} = 3$

$\Rightarrow 900 (x + 15) - 900 x = 3 x (x + 15)$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 45 x - 13500 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 15 x - 4500 = 0$

Tìm được $x = 60$ (thoả mãn), $x = - 75$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm $60$ sản phẩm.

2) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là $30 cm$ và chiều cao là $120 cm$ . Tính thể tích của khối gỗ đó. (lấy $π \approx 3, 14)$ .

Thể tích khối gỗ: $V = π r^{2} h \approx 3, 14.3 0^{2} .120 = 339120 (c m^{3})$

Vậy thể tích khối gỗ khoảng $339120 (c m^{3})$

Câu 3

Câu tự luận

1) Giải hệ phương trình ${\frac{2}{x - 3} - 3 y = 1 \frac{3}{x - 3} + 2 y = 8$ .

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $y = x^{2}$ và đường thẳng (d): $y = (m + 2) x - m .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1). ${\frac{2}{x - 3} - 3 y = 1 \frac{3}{x - 3} + 2 y = 8$ điều kiện: $x \neq = 3$ .

Đặt $\frac{1}{x - 3} = a$ hệ phương trình trở thành: ${2 a - 3 y = 1 3 a + 2 y = 8 \Leftrightarrow {a = 2 y = 1$ .

Với $a = 2 \Rightarrow \frac{1}{x - 3} = 2 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (\frac{7}{2}; 1)$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(d)$ và $(P)$ .

$x^{2} = (m + 2) x - m$

$\Leftrightarrow x^{2} - (m + 2) x + m = 0$ (*)

Ta có $Δ = (m + 2)^{2} - 4.1. m \Rightarrow Δ = m^{2} + 4$ .

Do $m^{2} \geq 0$ với mọi $m \Rightarrow m^{2} + 4 > 0$ với mọi $m$

$\Rightarrow Δ > 0$ với mọi $m$ , Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ .

Vậy $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$ .

b) Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của $(d)$ và $(P)$ . Tìm tất cả giá trị của $m$ để

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{1}{x _{1} + x _{2} - 2}$

Theo hệ thức Vi - et ta có: ${x_{1} + x_{2} = m + 2 x_{1} x_{2} = m$

Điều kiện để biểu thức $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{1}{x _{1} + x _{2} - 2}$ có nghĩa: $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} \neq = 0 x_{2} \neq = 0 x_{1} + x_{2} \neq = 2$

Khi đó: ${m + 2 \neq = 2 m \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = 0$

Xét: $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{1}{x _{1} + x _{2} - 2}$

$\Leftrightarrow \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} . x _{2}} = \frac{1}{x _{1} + x _{2} - 2}$

$\Leftrightarrow \frac{m + 2}{m} = \frac{1}{m + 2 - 2}$

$\Leftrightarrow \frac{m + 2}{m} = \frac{1}{m}$

$\Leftrightarrow m + 2 = 1$

$\Leftrightarrow m = - 1$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy với $m = - 1$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn ( $A B < A C$ ), nội tiếp đường tròn $(O)$ . Tiếp tuyến

tại điểm $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $B C$ tại điểm $S$ . Gọi $I$ là chân đường vuông góc

kẻ từ điểm $O$ đến đường thẳng $B C$ .

1) Chứng minh tứ giác $S A O I$ là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến các đường thẳng $S O$ và

$S C$ . Chứng minh $O A H = I A D$ .

3) Vẽ đường cao $C E$ của tam giác $A B C$ . Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $B E$ . Đường thẳng

$Q D$ cắt đường thẳng $A H$ tại điểm $K$ . Chứng minh $B Q . B A = B D . B I$ và đường thẳng $C K$ song

song với đường thẳng $S O$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C

có ba góc nhọn (

A B < A C

), nội tiếp đường tròn

(O)

. Tiếp tuyến (ảnh 1)">

1) Chứng minh tứ giác $S A O I$ là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác $S A O I$ có: $S A O = 9 0^{\circ}$ (tính chất của tiếp tuyến); $S I O = 9 0^{\circ}$ ( $O I ⊥ B C$ );

$S A O + S I O = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

Hai góc $S A O$ và $S I O$ đối nhau

$\Rightarrow$ Tứ giác $S A O I$ nội tiếp đường tròn đường kính $S O$ .

2) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến các đường thẳng $S O$ và $S C$ . Chứng minh $O A H = I A D$ .

A B C

có ba góc nhọn (

A B < A C

), nội tiếp đường tròn

(O)

. Tiếp tuyến (ảnh 2)">

Theo ý a), ta có: Tứ giác $S A O I$ nội tiếp nên $S O A = S I A$ (hai góc nội tiếp cùng chắn );

$\Rightarrow 9 0^{\circ} - S O A = 9 0^{\circ} - S I A$ ;

Mà $9 0^{\circ} - S O A = O A H$ ( $Δ A H O$ vuông tại $H$ ); $9 0^{\circ} - S I A = I A D$ ( $Δ A D I$ vuông tại $D$ )

$\Rightarrow O A H = I A D$ .

3) Vẽ đường cao $C E$ của tam giác $A B C$ . Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $B E$ . Đường thẳng $Q D$ cắt đường thẳng $A H$ tại điểm $K$ . Chứng minh $B Q . B A = B D . B I$ và đường thẳng $C K$ song song với đường thẳng $S O$ .

Vì $O I ⊥ B C \Rightarrow I$ là trung điểm của $B C$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây), mà $Q$ là ttrung điểm của $B E \Rightarrow I Q$ là đường trung bình của $Δ B E C \Rightarrow I Q // C E$ mà $C E ⊥ A B \Rightarrow I Q ⊥ A B \Rightarrow I Q A = 9 0^{\circ}$ , lại có $I D A = 9 0^{\circ} (A D ⊥ S C) \Rightarrow$ Tứ giác $A Q D I$ nội tiếp đường tròn đường kính $A I \Rightarrow$ $Q A I + Q D I = 18 0^{\circ}$ mà $B D Q + Q D I = 18 0^{\circ}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow B D Q = Q A I (= 18 0^{\circ} - Q D I)$ .

Xét $Δ B D Q$ và $Δ B A I$ có:

$B$ chung; $B D Q = B A I$ (chứng minh trên);

A B C

có ba góc nhọn (

A B < A C

), nội tiếp đường tròn

(O)

. Tiếp tuyến (ảnh 3)">

$\Rightarrow \frac{B D}{B Q} = \frac{B A}{B I} \Rightarrow B Q . B A = B D . B I$ .

Vì $B D Q = K D C$ (hai góc đối đỉnh) $\Rightarrow K D C = B A I$ (1);

Ta có: $S A B + B A O = 9 0^{\circ} (S A ⊥ O A)$ ; $D A C + A C D = 9 0^{\circ}$ ( $Δ A D C$ vuông tại $D$ ); mà $B C A = S A B$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

$\Rightarrow B A O = D A C$ hay $B A D = O A C$ lại có $D A I = H A O$ (ý 2)) $\Rightarrow B A I = K A C$ (2);

Từ (1) và (2), ta có: $K A C = K D C \Rightarrow$ tứ giác $D K C A$ nội tiếp

$\Rightarrow A D C = A K C = 9 0^{\circ} \Rightarrow A K ⊥ C K$ , mà $A K ⊥ S O \Rightarrow S O // K C$ .

Câu 5

Câu tự luận

Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a + b \leq 2$ . Chứng minh

$\frac{a ^{2}}{a ^{2} + b} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + a} \leq 1$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cách 1:

• Ta có: $\frac{a ^{2}}{a ^{2} + b} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + a} \leq 1 (1)$

$\Leftrightarrow a^{2} (b^{2} + a) + b^{2} (a^{2} + b) \leq (a^{2} + b) (b^{2} + a)$

$\Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + 2 a^{2} b^{2} \leq a^{3} + b^{3} + a^{2} b^{2} + ab$

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} \leq ab (2)$

• Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương $a$ và $b$ ta có:

$2 \geq a + b \geq 2 ab$

$\Rightarrow ab \leq 1 \Leftrightarrow ab \leq 1 \Rightarrow a^{2} b^{2} \leq ab$ . Do đó $(2)$ đúng.

Vì bất đẳng thức $(2)$ đúng nên bất đẳng thức $(1)$ đúng (đpcm).

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {a + b = 2 a = b \Leftrightarrow a = b = 1$ .

Cách 2:

Ta có $\frac{a ^{2}}{a ^{2} + b} = 1 - \frac{b}{a ^{2} + b}; \frac{b ^{2}}{b ^{2} + a} = 1 - \frac{a}{b ^{2} + a}$

$\Rightarrow \frac{a ^{2}}{a ^{2} + b} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + a} = 2 - (\frac{b}{a ^{2} + b} + \frac{a}{b ^{2} + a})$

Ta chứng minh $\frac{b}{a ^{2} + b} + \frac{a}{b ^{2} + a} \geq 1$

Ta có $V T = \frac{b}{a ^{2} + b} + \frac{a}{b ^{2} + a} = \frac{b ^{2}}{a ^{2} b + b ^{2}} + \frac{a ^{2}}{b ^{2} a + a ^{2}} \geq \frac{( a + b ) ^{2}}{a ^{2} b + b ^{2} + b ^{2} a + a ^{2}} \geq \frac{( a + b ) ^{2}}{2 ab + b ^{2} + a ^{2}} = 2$ .

Do đó $\frac{a ^{2}}{a ^{2} + b} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + a} \leq 1$ .

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {a + b = 2 a = b \Leftrightarrow a = b = 1$ .