Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Khánh Hòa có đáp án

a) Bảng giá trị

Đồ thị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $$\left(d\right)$$ và $$\left(P\right):$$

$$x^2=6x+2023\iff x^2-6x-2023=0\left(\ast \right)$$

Vì $$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2023\right)=8128>0$$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy $$\left(d\right)$$ cắt $$\left(P\right)$$ tại hai điểm phân biệt.

Cách 2:

Ta có: $a.c=1.(-2023)=-2023<0$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy $\left(d\right)$ luôn cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt.

 c) Theo Vi-et ta có $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6\\ x_1\cdot x_2=-2023.\end{array}$$

Suy ra: $$\{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=(x_1+2x_2)+(x_2+2x_1)\\ {\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=(x_1+2x_2).(x_2+2x_1)\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=x_1+2x_2+x_2+2x_1\\ {\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=x_1{x}_2+2x_1^2+2x_2^2+4x_1{x}_2\end{array}$$

     $$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=3x_1+3x_2\\ {\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=5x_1{x}_2+2\left(x_1^2+x_2^2\right)\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=3.(x_1+x_2)\\ {\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=5x_1{x}_2+2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]\end{array}$$

     $$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=3.6\\ {\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=5.(-2023)+2\left[6^2-2.(-2023)\right]\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=18\\ {\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=-1951\end{array}$$

Đặt  $$\mathrm{S}={\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=18$$  ;  $$\mathrm{P}={\mathrm{t}}_1.{\mathrm{t}}_2=-1951$$

Do $${\mathrm{S}}^2-4.P=18^2-4.(-1951)=8128>0$$

nên theo định lí Vi-et đảo ta có $${\mathrm{t}}_1;{\mathrm{t}}_2$$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai

$t^2-S.t+P=0$

$\iff t^2-18t-1951=0$

Vậy phương trình bậc hai ẩn t cần tìm là: $t^2-18t-1951=0$

Cách 1: Lập hệ phương trình

Gọi x; y (Học sinh) lần lượt là số học sinh của tổ I và tổ II. ($$x,y\in N^{\ast }$$và x, y < 15)

Theo đề ta có: $x+y=15$                     (1)

Số cây mỗi học sinh tổ I trồng được là: $\frac{30}{x}$ (cây)

Số cây mỗi học sinh tổ II trồng được là: $\frac{36}{y}$ (cây)

Mỗi học sinh ở tổ I trồng được nhiều hơn mỗi học sinh ở tổ II là 1 cây nên ta có$\frac{30}{x}-\frac{36}{y}=1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=15\\ \frac{30}{x}-\frac{36}{y}=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=15-y\\ \frac{30}{15-y}-\frac{36}{y}=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=15-y\\ \frac{30y-36\left(15-y\right)}{y\left(15-y\right)}=\frac{y\left(15-y\right)}{y\left(15-y\right)}\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=15-y\\ 30y-540+36y=15y-y^2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=15-y\\ y^2+51y-540=0\end{array}$    

$\iff \{\begin{array}{l}x=15-y\\ (y-9)(y+60)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=15-y\\ [\begin{array}{l}y=9(tm)\\ y=-60(ktm)\end{array}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=15-9=6\\ y=9\end{array}$

Vậy: Số học sinh của tổ I là 6 (Học sinh)

        Số học sinh của tổ II là 9 (Học sinh)

Cách 2: Lập phương trình bậc hai

Gọi số học sinh của Tổ I là $x$ (học sinh) $\left(x\in N^{\ast };x<15\right)$

Khi đó, số học sinh của Tổ II là $15-x$ (học sinh)

Mỗi học sinh tổ I trồng được $$\frac{30}{x}$$ (cây)

Mỗi học sinh tổ I trồng được $$\frac{36}{15-x}$$ (cây)

Theo đề bài, ta có phương trình :

$$\frac{30}{x}-\frac{36}{15-x}=1$$

$$\iff 30.(15-x)-36x=1.x.(15-x)$$

$$\iff 450-30x-36x=15x-x^2$$

$$\iff x^2-15x+450-30x-36x=0$$

$$\iff x^2-81x+450=0$$

$...\Rightarrow [\begin{array}{lc}{x}_1=75(L)& \\ x_2=6& (t/m)\end{array}$

Vậy tổ I có 6 học sinh ; tổ II có 9 học sinh.