Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Lạng Sơn có đáp án

a) Tính giá trị các biểu thức:

$A=\sqrt{36}-\sqrt{4}$= 6-2=4;

$B=\sqrt{{\left(4-\sqrt{15}\right)}^2}+\sqrt{15}$=$\left|4-\sqrt{15}\right|+\sqrt{15}=4-\sqrt{15}+\sqrt{15}=4$;

C=$\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$\frac{\sqrt{4.3}+\sqrt{9.3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5$.

b) Cho biểu thức P = $\left(\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{x-9}\right):\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+3}$   với $x\ge 0,x\ne 9$.

1) Rút gọn biểu thức P.

Với $x\ge 0,x\ne 9$. Ta có:

P = $\left(\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{x-9}\right):\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+3}=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right).\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+4}$

= $\frac{\sqrt{x}+3+1}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+4}=\frac{\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+4}=\frac{1}{\sqrt{x}-3}.$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 9$ thì P =$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$.

2) Tính giá trị của x để P = $\frac{1}{2}$.

Với $x\ge 0,x\ne 9$ để  P =$\frac{1}{2}$thì $\frac{1}{\sqrt{x}-3}$= $\frac{1}{2}$$\Rightarrow 2=\sqrt{x}-3\iff \sqrt{x}=5\iff x=25$ (thỏa mãn)

Vậy x = 25 thì P = $\frac{1}{2}$.

3x−2. (ảnh 1)">

b) Hoành  độ giao điểm của đồ thị hàm số (P): y = $x^2$ và đường thẳng (d): y = $3x-2$là nghiệm của phương trình:

 $x^2=3x-2\iff x^2-3x+2=0$

a) Giải hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3x-2y=5\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}2x+2y=10\\ 3x-2y=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5x=15\\ y=5-x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=5-3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: $S=\left\{\left(3;2\right)\right\}$.

b) Giải phương trình: $x^2-9x+14=0$.

Ta có \(\)\(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.14 = 81 - 56 = 25\rangle 0\)\(\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{25}}{2.1}=2;x_2=\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{25}}{2.1}=7.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là:$S=\left\{2;7\right\}.$

c) Cho phương trình: $x^2-(m+2)x+m-3=0$(*), với m là tham số.

1) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2+2x_1{x}_2$ > 5.

Xét phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+m-3=0(\ast ),$với m là tham số.

1) Phương trình (*) có: $\Delta ={\left[-\left(m+2\right)\right]}^2-\mathrm{4.1.}\left(m-3\right)=m^2+4m+4-4m+12=m^2+16$ >0 với mọi m. Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Với mọi m thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$thỏa hệ thức Vi-et, ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1.x_2=m-3.\end{array}$

Theo bài ra: $x_1+x_2+2x_1{x}_2$>5 $\iff m+2+2\left(m-3\right)$>5$\iff m+2+2m-6$>5$\iff 3m>9\iff m>3.$

Vậy m > 3 là các giá trị cần tìm.

b) Chứng minh rằng \(\)∆EAD ~∆EFC

Xét ∆EAD và ∆EFC có:

\(\widehat {EAD} = \widehat {{\rm{EF}}C}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn ,tứ giác AFHE nội tiếp);

Tứ giác CDHE có $\widehat{CDH}=\widehat{CEH}=90^0$(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính CH $\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{FCE}$( hai góc nội tiếp cùng chắn );