Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Nam Định có đáp án

a)$$\sqrt{27}-2\sqrt{12}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}$$

$$=-\sqrt{3}+\left|\sqrt{3}-1\right|=-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=-1.$$

Vậy $$\sqrt{27}-2\sqrt{12}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=-1.$$

b)Với $x\ge 0$và $x\ne 9$ ta có $A=\left(\frac{9-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

$$=\frac{9-\sqrt{x}+2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$$

$=\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$

$=\frac{1}{\sqrt{x}+1}.$ Vậy $$A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$ với $x\ge 0$ và $x\ne 9.$

a)Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $y=x^2$ và $y=-2x+3$ là nghiệm của phương trình $x^2+2x-3=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}$

Vậy toạ độ các điểm cần tìm là $\left(1;1\right)$ và $\left(-3;9\right).$

b)Ta có ${\Delta }^{\text{'}}={\left(m-2\right)}^2+1>0\forall m.$

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với $\forall m.$

Theo hệ thức Vi-et ta có $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\\ x_1{x}_2=6m-4.\end{array}$$

Ta có $$x_1^2-x_2^2=3x_1{x}_2\left(x_2-x_1\right)\iff \left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2+3x_1{x}_2\right)=0$$

$$\iff x_1+x_2+3x_1{x}_2=0$$ (do $x_1,x_2$ phân biệt)

$\iff 2\left(m+1\right)+3\left(6m-4\right)=0\iff m=\frac{1}{2}.$ Vậy $m=\frac{1}{2}.$

ĐKXĐ: $x\ne 4;y\ne 0$

PT$\left(1\right)\iff x-4=-3y$

Thay $x-4=-3y$ vào PT$\left(2\right)$ ta có $\frac{1}{-3y}+\frac{1}{y}=1\iff y=\frac{2}{3}\Rightarrow x=2.$

Đối chiếu với ĐKXĐ ta có $\left(x;y\right)=\left(2;\frac{2}{3}\right)$ là nghiệm của hệ.

1)Diện tích hình thang $$ABCD$$ là $$\frac{\left(AB+DC\right).AD}{2}=\frac{\left(3+7\right).5}{2}=25m^2.$$

Diện tích nửa hình tròn đường kính $$AD$$ là $$\frac{\pi .{\left(2,5\right)}^2}{2}=\frac{25\pi }{8}{m}^2.$$

Diện tích phần đất trồng cỏ là $$25-\frac{25\pi }{8}\approx 15,19m^2.$$

                  Chú ý: Nếu học sinh không làm tròn thì trừ 0,25 điểm bước này.

ABCD có (ảnh 2)">

2a) Ta có $$\widehat{BMN}=90^0\Rightarrow$$ $$M$$thuộc đường tròn đường kính $$BN.$$

Ta có $$\widehat{BEN}=90^0\Rightarrow$$ $$E$$ thuộc đường tròn đường kính $$BN.$$

Do đó bốn điểm $$B,M,E,N$$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$BN.$$

Chứng minh được $$\widehat{MBN}=\widehat{MEA}$$.

Xét $$\Delta AEH$$ vuông tại $$E,$$ có $$EM$$ là đường trung tuyến

$$\Rightarrow EM=AM\Rightarrow \Delta AME$$ cân tại $$M\Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{MAE}\Rightarrow \widehat{MBN}=\widehat{KAC}.$$

b)Xét $$(O)$$có $$\widehat{KBC}=\widehat{KAC}$$ mà $$\widehat{KAC}=\widehat{EBC}$$ (cùng phụ với $$\widehat{ACB}$$) $$\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{EBC}$$

$$\Rightarrow BC$$ là tia phân giác của góc $$\widehat{KBH}.$$ Lại có $$BC\perp HK\Rightarrow \Delta BHK$$cân tại $$B.$$

$$\Rightarrow \widehat{BKH}=\widehat{BHK}.$$ Ta có $$\widehat{BHK}=\widehat{MHE}=\widehat{MEH}=\widehat{MNB}\Rightarrow \widehat{BKM}=\widehat{BNM.}$$

Do đó tứ giác $$BMNK$$ nội tiếp.

$$\Rightarrow \widehat{BMN}+\widehat{BKN}=180^0\Rightarrow \widehat{BKN}=\widehat{BKT}=90^0$$$$\Rightarrow K$$thuộc đường tròn đường kính $$BT.$$ Mà $$B,K,T\in \left(O\right)\Rightarrow BT$$là đường kính của $$(O)\Rightarrow B,O,T$$thẳng hàng.

a)ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}1+3x\ge 0\\ 2x-1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{3}\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}\iff x\ge \frac{1}{2}$.

Ta có: $x^2+4x=2\sqrt{1+3x}+\sqrt{2x-1}$$\iff x^2+4x-5=2\left(\sqrt{1+3x}-2\right)+\left(\sqrt{2x-1}-1\right)$

$\iff \left(x-1\right)\left(x+5\right)=\frac{2\left(1+3x-4\right)}{\sqrt{1+3x}+2}+\frac{2x-1-1}{\sqrt{2x-1}+1}$$\iff \left(x-1\right)\left(x+5\right)=\frac{6\left(x-1\right)}{\sqrt{1+3x}+2}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{2x-1}+1}$

$$\begin{array}{l}\iff \left(x-1\right)\left(x+5-\frac{6}{\sqrt{1+3x}+2}-\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=1(tm)\\ x+5=\frac{6}{\sqrt{1+3x}+2}+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}\end{array}\end{array}$$

Xét phương trình $$x+5=\frac{6}{\sqrt{1+3x}+2}+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}\left(\ast \right)$$

Do $x\ge \frac{1}{2}\Rightarrow$$$\frac{6}{\sqrt{1+3x}+2}+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}<\frac{6}{2}+\frac{2}{1}=5$$ và $x+5\ge \frac{11}{2}>5$

nên phương trình $$\left(\ast \right)$$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $$x=1$$.

b)Từ giả thiết $$x+y+z=1\Rightarrow x+yz=x(x+y+z)+yz=(x+y)(x+z).$$

Tương tự $$y+zx=(y+z)(y+x);z+xy=(z+x)(z+y).$$

Do đó $P=\frac{(x+y)(x+z)}{y+z}+\frac{(y+z)(y+x)}{z+x}+\frac{(z+x)(z+y)}{x+y}.$

Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$ $\Rightarrow a,b,c>0$ và $a+b+c=2.$

$$\begin{array}{l}P=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ba}{c}\right)+\left(\frac{ca}{b}+\frac{cb}{a}\right)\right]\\ \ge \frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}+2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ba}{c}}+2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{cb}{a}}\right)=a+b+c=2.\end{array}$$

Dấu  xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ bằng $2$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}.$