Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Quảng Bình có đáp án

4 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho biểu thức $A = \frac{1}{a + 2} + \frac{4}{a - 4}$ với $a \geq 0$ và $a \neq = 4$ .

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm tất cả các giá trị của a để $A = \frac{1}{2} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1.Với $a \geq 0$ và $a \neq = 4$ ta có

$A = \frac{1}{a + 2} + \frac{4}{( a - 2 ) ( a + 2 )}$

$= \frac{a - 2 + 4}{( a - 2 ) ( a + 2 )}$

$= \frac{a + 2}{( a - 2 ) ( a + 2 )}$

$= \frac{1}{a - 2}$

2. $A = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a - 2} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow a - 2 = 2$

$\Leftrightarrow a = 4$

$\Leftrightarrow a = 16 (T M)$ . Vậy $a = 16$ .

Câu 2

Câu tự luận

1. Giải phương trình $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

2. Cho phương trình $x^{2} + 3 x + m - 3 = 0,$ (m là tham số).

a. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.

b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2},$ tìm tất cả các giá trị của m để $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $2 x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) = 2$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1.Ta thấy $a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0$

nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = 1$ và $x_{2} = - 4$ .

2a.Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi $Δ \geq 0$

$\Leftrightarrow 9 - 4 (m - 3) \geq 0$

$\Leftrightarrow 21 - 4 m \geq 0$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{21}{4}$ . Vậy $m \leq \frac{21}{4}$ .

b)Khi $m \leq \frac{21}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$

Theo Vi-ét ta có ${x_{1} + x_{2} = - 3 x_{1} x_{2} = m - 3$

Ta có $2 x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) = 2$ $\Leftrightarrow 2 (m - 3) + 3 = 2$

$\Leftrightarrow m = \frac{5}{2} (T M)$ . Vậy $m = \frac{5}{2}$ .

Câu 3

Câu tự luận

Với

x \in R,

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 9 x^{2} - 2 ∣ 3 x - 2 ∣ - 12 x + 2028.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có $P = (3 x)^{2} - 2.2.3 x + 2^{2} - 2 ∣ 3 x - 2 ∣ + 2024$

$= (3 x - 2)^{2} - 2 ∣ 3 x - 2 ∣ + 1 + 2023$

$= (∣ 3 x - 2 ∣ - 1)^{2} + 2023 \geq 2023, \forall x \in R$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$∣ 3 x - 2 ∣ - 1 = 0 \Leftrightarrow ∣ 3 x - 2 ∣ = 1$ $\Leftrightarrow [3 x - 2 = 1 3 x - 2 = - 1 \Leftrightarrow [x = 1 x = \frac{1}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2023 đạt được khi $x = 1$ hoặc $x = \frac{1}{3}$ .

Câu 4

Câu tự luận

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (C khác A và B). Lấy điểm E thuộc cung AC (E khác A và C) sao cho AE<BC, gọi M là giao điểm của AC và BE. Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

1. Chứng minh tứ giác BCMH nội tiếp.

2. Chứng minh $Δ A C E$ đồng dạng với $Δ H C M .$

3. Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh $K E . K O = K C . K H .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (ảnh 1)

1.Xét tứ giác BCMH có

$B C M = A C B = 9 0^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$M H B = 9 0^{0}$ (vì $M H ⊥ A B$ )

Suy ra $B C M + M H B = 18 0^{0}$ nên tứ giác BCMH nội tiếp đường tròn.

2.Xét $Δ A C E$ và $Δ H C M$ có: $E A C = E B C$ (Cùng chắn cung )

$M H C = E B C$ (Cùng chắn cung )

Suy ra $E A C = M H C (1)$

Tương tự ta có $A C E = M C H (2)$ , (cùng bằng $A B E$ )

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $Δ A C E$ ∽ $Δ H C M (g - g)$ (đpcm)

3.Chứng minh được tứ giác AEMH nội tiếp

Suy ra $C A B = M E H$ (Cùng chắn cung )

Mà $C A B = C E B$ (Cùng chắn cung )

Suy ra $C A B = M E H = C E B$

Ta có $C O B = 2. C A B$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )

Do đó $C O B = 2. C E B = C E H$ nên tứ giác CEHO nội tiếp

Suy ra $H E O = H C O$ và $E H C = E O C$

Nên $Δ E K H$ ∽ $Δ C K O (g - g)$

$\Rightarrow \frac{K E}{K C} = \frac{K H}{K O}$ $\Rightarrow K E . K O = K C . K H$