Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thái Bình có đáp án

a)  Theo bài ra $Q=\frac{\sqrt{x}}{x+4}$ với $x\ge 0;x\ne 1$

Thay $x=4$(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: $Q=\frac{\sqrt{4}}{4+4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

b) Với $x\ge 0;x\ne 1$ ta có:

$P=\left(\frac{x-6\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{x+4}{1-x}$

$P=\left[\frac{x-6\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right]:\frac{x+4}{1-x}$

$p=\frac{x-6\sqrt{x}+1-{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{1-x}{x+4}$

$P=\frac{x-6\sqrt{x}+1-x+2\sqrt{x}-1}{x-1}.\frac{1-x}{x+4}$

$P=\frac{-4\sqrt{x}}{x-1}.\frac{-\left(x-1\right)}{x+4}$

$P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}$

$P=4.\frac{\sqrt{x}}{x+4}=4.Q$

Vậy $P=4Q$với $x\ge 0;x\ne 1$.

c) Ta có $P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}$ với $x\ge 0;x\ne 1$

Với $x\ge 0;x\ne 1$ ta có $4\sqrt{x}\ge 0;x+4>0$$\Rightarrow P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}\ge 0\left(1\right)$

Ta cũng có: $P=\frac{x+4-\left(x-4\sqrt{x}+4\right)}{x+4}=1-\frac{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2}{x+4}\le 1$với $x\ge 0;x\ne 1$

Do đó $P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}\le 1\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$và $\left(2\right)$$\Rightarrow 0\le P\le 1$. Mà $P$ nhận giá trị là số nguyên nên $P\in \left\{0;1\right\}$.

+ Với $P=0$$\iff \frac{4\sqrt{x}}{x+4}=0\iff \sqrt{x}=0\iff x=0$ (thỏa mãn)

+ Với $P=1$$\iff \frac{4\sqrt{x}}{x+4}=1\iff x+4=4\sqrt{x}\iff x+4-4\sqrt{x}=0\iff {\left(\sqrt{x}-2\right)}^2=0$

$\iff \sqrt{x}-2=0\iff x=4$ (thỏa mãn).

Vậy $x\in \left\{0;4\right\}$ thì $P$ nhận giá trị là số nguyên

a) Với $m=2$ hệ phương trình đã cho có dạng:

$$\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ -x+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x=1\\ -x+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}$$

Vậy với $m=2$hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $$\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right)$$.

 b) Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}mx+y=3\left(1\right)\\ -x+y=2\left(2\right)\end{array}$

Từ $\left(2\right)$ ta có $y=x+2\left(3\right)$.

Thay $\left(3\right)$vào $\left(1\right)$ta được: $mx+x+2=3\iff \left(m+1\right)x=1\left(4\right)$

 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình $\left(4\right)$ có nghiệm duy nhất $\iff m+1\ne 0\iff m\ne -1$

 Với $m\ne -1$ phương trình $\left(4\right)$ có 1 nghiệm $x=\frac{1}{m+1}$.

Từ $\left(2\right)$ ta có $y=\frac{1}{m+1}+2=\frac{2m+3}{m+1}$.

Với $m\ne -1$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{m+1}\\ y=\frac{2m+3}{m+1}\end{array}$

Theo bài ra $x^2+y^2=10$$$\iff {\left(\frac{1}{m+1}\right)}^2+{\left(\frac{2m+3}{m+1}\right)}^2=10$$

 $$\iff 1+{\left(2m+3\right)}^2=10{\left(m+1\right)}^2$$

$$\iff 1+4m^2+12m+9=10m^2+20m+10$$

 $$\iff 6m^2+8m=0$$

$$\iff 2m\left(3m+4\right)=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{-4}{3}\end{array}$$ (thỏa mãn).

Vậy $$m\in \left\{\frac{-4}{3};0\right\}$$thỏa mãn đề bài

a) Đường thẳng $\left(d\right):y=x+m$ đi qua điểm $A\left(2;8\right)$$\iff 2+m=8\iff m=6$.

Vậy $m=6$ thì $\left(d\right)$ đi qua điểm $A\left(2;8\right)$.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left(P\right):y=2x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=x+m$ là: $2x^2=x+m\iff 2x^2-x-m=0\left(\ast \right)$.

Phương trình $\left(\ast \right)$có: $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(-m\right)=1+8m$.

Để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$thì phương trình $\left(\ast \right)$có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$$\iff \Delta >0\iff 1+8m>0\iff m>\frac{-1}{8}$.

Theo định lí Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{1}{2}\\ x_1.x_2=\frac{-m}{2}\end{array}$

Theo bài ra: $x_1+x_2-3x_1{x}_2=5$$\iff \frac{1}{2}-3.\frac{-m}{2}=5\iff 1+3m=10\iff 3m=9\iff m=3$(thỏa mãn).

Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

$$P=\frac{x{y}^3}{\frac{y^3}{2}+\frac{y^3}{2}+4}+\frac{y{z}^3}{\frac{z^3}{2}+\frac{z^3}{2}+4}+\frac{z{x}^3}{\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}+4}$$

$$P\le \frac{x{y}^3}{3.\sqrt[3]{\frac{y^3}{2}.\frac{y^3}{2}.4}}+\frac{y{z}^3}{3.\sqrt[3]{\frac{z^3}{2}.\frac{z^3}{2}.4}}+\frac{z{x}^3}{3.\sqrt[3]{\frac{x^3}{2}.\frac{x^3}{2}.4}}=\frac{x{y}^3}{3y^2}+\frac{y{z}^3}{3z^2}+\frac{z{x}^3}{3x^2}$$

$$P\le \frac{xy+yz+zx}{3}$$

Lại có $${\left(x-y\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2\ge 0\forall x,y,z$$

$$\iff x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$

$$\iff {\left(x+y+z\right)}^2\ge 3\left(xy+yz+zx\right)$$

$$\iff xy+yz+zx\le \frac{\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{6^2}{3}=12$$

$$\Rightarrow P\le \frac{12}{3}=4$$

Dấu “=” xảy ra khi $$\{\begin{array}{l}x=y=z\\ x+y+z=6\end{array}\iff x=y=z=2$$

Vậy $$MaxP=4\iff x=y=z=2$$