Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thừa Thiên Huế có đáp án

6 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

a.Tìm điều kiện của x để biểu thức $A = x - 1$ có nghĩa.

b)Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức $B = 9 - 4 + 16$

c)Rút gọn biểu thức $C = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}$ với $x \geq 0$ và $x \neq = 4$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Biểu thức $A = x - 1$ có nghĩa khi $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

b) $B = 9 - 4 + 16 \Leftrightarrow B = 3^{2} - 2^{2} + 4^{2} \Leftrightarrow B = 3 - 2 + 4 \Leftrightarrow B = 5$

Vậy $B = 5$

c) $C = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2} \Leftrightarrow C = \frac{x}{x - 4} + \frac{x - 2}{( x + 2 ) ( x - 2 )} - \frac{x + 2}{( x + 2 ) ( x - 2 )} \Leftrightarrow C = \frac{x + x - 2 - x - 2}{x - 4} \Leftrightarrow C = \frac{x - 4}{x - 4} = 1$

Vậy $C = 1$

Câu 2

Câu tự luận

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình ${2 x + y = 5 x - y = 1$

b)Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $(d) : y = x - m$ .Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a)Ta có ${2 x + y = 5 x - y = 1 \Leftrightarrow {3 x = 6 x - y = 1 \Leftrightarrow {x = 2 y = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (2; 1)$

b)Đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, suy ra:

$x = 0; y = 2$

Thay $x = 0; y = 2$ vào $(d)$ , ta được $2 = 0 - m \Leftrightarrow m = - 2$

Vậy $m = - 2$ thì đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Câu 3

Câu tự luận

Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi từ A đến B cách nhau 36 km. Trên cùng tuyến đường đó, khi đi từ B đến A, người này đi với vận tốc lớn hơn 3 km/h so với vận tốc kho đi từ A đến B vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi $x$ là vận tốc của người đi xe đạp đi từ A đến B $(x > 0)$

$x + 3$ là vận tốc của người đi xe đạp đi từ B đến A

Thời gian của Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: $\frac{36}{x}$ (giờ)

người đi xe đạp kho đi từ B đến A là: $\frac{36}{x + 3}$ (giờ)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút nên ta có phương trình:

$\frac{36}{x} = \frac{36}{x + 3} + \frac{36}{60}$

Giải phương trình, ta được:

$x = 12$ (thỏa mãn) $x = - 15$ (loại)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: $12 k m / h$

Câu 4

Câu tự luận

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 3) x + 2 m + 1 = 0$ (1) (với x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi $m = - 2$

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ , thỏa mãn: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} - 2 x_{2} = 10$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Khi $m = - 2$ , phương trình trở thành $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Ta có: $a = 1, b = - 2, c = - 3$

Vì $a - b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$

Vậy khi, phương trình (1) có hai nghiệm là: $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$

b)Ta có:

$Δ^{'} = b^{'2} - a c = [- (m + 3)]^{2} - 1. (2 m + 1) = m^{2} + 6 m + 9 - 2 m - 1 = m^{2} + 4 m + 8 = m^{2} + 2.2 m + 2^{2} + 4 = (m + 2)^{2} + 4 > 0, \forall m \in R$

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$

c)Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

${x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 2 ( m + 3 )}{1} = 2 (m + 3) x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2 m + 1}{1} = 2 m + 1 (3)$

Theo đề bài, ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} - 2 x_{2} = 10$

$\Leftrightarrow (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} . x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = 10$

Thay (3) vào phương trình, ta có:

$[2 (m + 3)]^{2} - 2 (2 m + 1) - 2.2 (m + 3) = 10 \Leftrightarrow 4 (m^{2} + 6 m + 9) - 2 (2 m + 1) - 4 (m + 3) - 10 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 24 m + 36 - 4 m - 2 - 4 m - 12 - 10 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 16 m + 12 = 0 (*)$

Ta có: $4 - 16 + 12 = 0$ nên phương trình (*) có 2 nghiệm là $m_{1} = - 1; m_{2} = - 3$

Vậy, với $m = - 1$ hoặc $m = - 3$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} - 2 x_{2} = 10$

Câu 5

Câu tự luận

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC

a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOED cắt đường tròn (O) tại điêmt thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến đường tròn (O) và $\frac{A B}{A C} = \frac{F B}{F C}$

c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A,F,G thẳng hang

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a)Xét tứ giác $A O E D$ , ta có: $O A D = 9 0^{\circ}$ (tính chất tiếp tuyến )

$O E D = 9 0^{\circ}$ ( giả thuyết )

$\Rightarrow O A D + O E D = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

Vậy tứ giác $A O E D$ nội tiếp đường tròn

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt (ảnh 1)

b)Ta có $A O F D$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow O F D = 9 0^{\circ}$

Suy ra $D F$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Xét $Δ D F B$ và $Δ D C F$ , ta có:

$D$ :góc chung

$D F B = D C F$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Suy ra: $Δ D F B \sim Δ D C F (g - g) \Rightarrow \frac{D F}{D C} = \frac{F B}{F C} (1)$

Xét $Δ D A B$ và $Δ D C A$ , ta có:

$D$ :góc chung

$D A B = A C B$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Suy ra: $Δ D A B \sim Δ D C A (g - g) \Rightarrow \frac{D A}{D C} = \frac{A B}{A C} (2)$

Vì $D F = D A$ ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{F B}{F C} = \frac{A B}{A C}$

c)Ta có: $GC = GB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$O C = O B$ (bán kính)

Nên $O G$ là đường trung trực của $B C$ , suy ra $O G ⊥ B C$

Mặt khác: $O E ⊥ B C$ , nên ba điểm $O, E, G$ thẳng hàng.

Ta có: $O A = OF; DA = DF$ ; nên $OD$ là đường trung trực của $AF$

Do đó $OD ⊥ AF$ tại $H$ (5)

Tam giác $O C G$ vuông tại $C$ nên $O E . O G = O C^{2}$

Tam giác $O A D$ vuông tại $H$ nên $O A^{2} = O H . O D$

Mà $O A = O C$ nên $O E . O G = O H . O D$ . Suy ra $E H D G$ là tứ giác nội tiếp.

Mà $GE D = 9 0^{\circ}$ nên $G H D = 9 0^{\circ}$ (6)

Từ (5) và (6), suy ra $A, F, G$ thẳng hàng.

Câu 6

Câu tự luận

Cho tam giác OBC vuông tại O. Nếu quay tam giác OBC một vòng cạnh OB cố định thì được một hình nón có thể tích bằng $800 π c m^{3}$ . Nếu quay tam giác OBC một vòng quanh cạnh OC cố định thì được một hình nón có thể tích bằng $1920 π c m^{3}$ . Tính OB và OC

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho tam giác OBC vuông tại O. Nếu quay tam giác OBC một vòng cạnh OB cố định thì được một hình nón có thể (ảnh 1)

Khi quay tam giác

O B C

một vòng cạnh

O B

cố định thì

$V_{1} = \frac{1}{3} π . O C^{2} . O B = 800 π$

Khi quay tam giác $O B C$ một vòng cạnh $O C$ cố định thì

$V_{2} = \frac{1}{3} π . O B^{2} . O C = 1920 π$

Ta có: $\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{\frac{1}{3} π . O C ^{2} . O B}{\frac{1}{3} π . O B ^{2} . O C} = \frac{800 π}{1920 π} \Leftrightarrow \frac{O C}{O B} = \frac{5}{12} \Rightarrow O C = \frac{5}{12} O B$

Suy ra: $V_{1} = \frac{1}{3} π . (\frac{5}{12} . O B)^{2} . O B = 800 π \Rightarrow \frac{25}{144} . O B^{2} = 2400 \Rightarrow O B = 24 (c m)$

Do đó: $O C = \frac{5}{12} . O B = \frac{5}{12} .24 = 10 (c m)$

Vậy độ dài của $O B$ và $O C$ lần lượt là $24 (c m)$ và $10 (c m)$