Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Vĩnh Phúc có đáp án

a) Chướng minh $$EHAK$$ là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác $$EHAK$$ có:

$$\widehat{AHE}=90^0$$ (do $$EH\perp AB$$)

$$\widehat{AKE}=90^0$$ (do $$EK\perp AC$$)

$$\Rightarrow \widehat{AHE}+\widehat{AKE}=90^0+90^0=180^0$$. Mà hai đỉnh $$H,K$$ là hai đỉnh đối diện nên $$EHAK$$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $$F$$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $$ABC.$$ Chứng minh $$E$$ thuộc đườn tròn $$(O)$$ và $$E$$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$BCF.$$

* Chứng minh $$E$$ thuộc đườn tròn $$(O).$$ 

Vì $$E$$ thuộc phân giác của góc $$\widehat{BAC}$$ nên $$EH=EK$$ (theo tính chất)

Vì $$OE$$ qua $$O$$ và vuông góc với $$BC\Rightarrow OE$$ đi qua trung điểm của $$BC$$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) $$EB=EC$$ (tính chất).

Xét tam giác vuông $$EBH$$ và tam giác vuông $$ECK$$ có:

$$\widehat{EHB}=\widehat{ECK}=90^0$$

$$EB=EC$$ (cmt)

$$EH=EK$$ (cmt)

$$\Rightarrow \Delta EHB=\Delta EKC$$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $$\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{ECK}=\widehat{ACE}$$ (hai góc tương ứng).

Mà $$\widehat{EBH}+\widehat{ABE}=180^0$$ (hai góc kề bù) $$\Rightarrow \widehat{ACE}+\widehat{ABE}=180^0$$

Mà $$B,C$$ là hai đỉnh đối nhau nên $$ABEC$$ là tứ giác nội tiếp.

Mặt khác lại có $$A,B,C$$ cùng thuộc $$(O)$$ nên $$ABEC$$ nội tiếp đường tròn $$(O).$$

Vậy $$E$$ thuộc đường tròn $$(O)$$ (đ.p.c.m)

* Chứng minh $$E$$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$BCF$$

Ta có: $$\widehat{EBF}=\widehat{EBD}+\widehat{DBF}$$

Mà $$\widehat{EBD}=\widehat{EBC}=\widehat{EAC}=\widehat{BAF}$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$EC$$ và $$AE$$ là phân giác của góc $$A$$).

Lại có $$\widehat{DBF}=\widehat{ABF}$$ (do $$F$$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $$ABC$$ nên $$BF$$ là phân giác của $$\widehat{ABC}$$) $$\Rightarrow \widehat{EBF}=\widehat{BAF}+\widehat{ABF}=\widehat{EFB}$$ (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

$$\Delta EBF$$ cân tại $$E$$ (định nghĩa) $$\Rightarrow EB=EF$$ (tính chất).

Mà $$EB=EC$$ (cmt)$$\Rightarrow EB=EC=EF$$.

Vậy $$E$$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$BCF$$ (đ.p.c.m).

c) Gọi $$M,N,I$$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $$AE,BE$$ và $$BC.$$ Chứng minh $$BMDN$$ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm $$A$$ để bốn điểm $$H,N,I,K$$ thẳng hàng.

+ Xét tứ giác $$BHEI$$ có: $$\widehat{BHE}+\widehat{BIE}=90^0+90^0=180^0$$

Mà hai đỉnh $$H,I$$ đối nhau nên $$BHEI$$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $$N$$ đường kính $$BE\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{BEH}$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$BH$$).

+ Xét tứ giác $$CEIK$$ có:$$\widehat{CIE}=\widehat{CKE}=90^0$$

Mà $$I,K$$ kề nhau cùng nhìn $$EC$$ dưới hai góc bằng nhau nên $$CEIK$$ là tứ giác nội tiếp $$\Rightarrow \widehat{KIC}=\widehat{KEC}$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $$KC$$).

Mà $$\Delta EHB=\Delta EKC$$ (chứng minh b) nên $$\widehat{BEH}=\widehat{KEC}$$ (hai góc tương ứng) $$\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{KIC}$$

Mà $$\widehat{BIH}+\widehat{HIC}=180^0$$ (hai góc kề bù) $$\widehat{KIC}+\widehat{HIC}=180^0\Rightarrow \widehat{HIK}=180^0\Rightarrow H,I,K$$ thẳng hàng.

Để $$H,N,I,K$$ thẳng hàng thì cần $$H,N,I$$ thẳng hàng.

Vì $$BHEI$$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $$N$$ đường kính $$BE$$ (cmt) nên $$NH=NI.$$

Mà $$H,N,I$$ thẳng hàng $$\Rightarrow N$$ là trung điểm của $$HI.$$

Mà $$N$$ lại là trung điểm của $$BE\Rightarrow BHEI$$ là hình bình hành (dhnb).

Lại có $$\widehat{BHE}=90^0$$ (gt) $$\Rightarrow BHEI$$ là hình chữ nhật (dhnb)$$\Rightarrow \widehat{HBI}=90^0\Rightarrow \widehat{ABC}=90^0\Rightarrow \Delta ABC$$ vuông tại $$B.$$

Vậy $$A$$ nằm trên đường tròn $$(O)$$ sao cho $$\Delta ABC$$ vuông tại $$B.$$