Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2025-2026 có đáp án

Với $$x\ge 0;x\ne 9$$, ta có

$$A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{3}{\sqrt{x}-3}\right).\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}$$

$$=\frac{x+9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}=\frac{1}{\sqrt{x}-3}$$

Theo định lí Viète ta có $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=6\\ x_1.x_2=4\end{array}$$

$$T={\left(x_1+2\right)}^2+{\left(x_2+2\right)}^2={x_1}^2+{x_2}^2+4\left(x_1+x_2\right)+8$$

Xét hệ $$\{\begin{array}{l}x+2y=8(1)\\ 2x-y=1(2)\end{array}$$. Nhân 2 vào PT (2) và cộng vào PT (1) ta có: $$5x=10$$.

Khi đó $$x=2$$. Thế giá trị $$x=2$$ vào phương trình (2) ta có: $$4-y=1$$ suy ra $$y=3$$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhât $$\left(x;y\right)=\left(2;3\right)$$. 

a) Không gian mẫu:

$$\left\{\left(4;5\right);\left(4;6\right);\left(4;7\right);\left(5;4\right);\left(5;6\right);\left(5;7\right);\left(6;4\right);\left(6;5\right);\left(6;7\right)\right\}$$

Số kết quả thuận lợi của biến cố $$A$$: “Tổng hai số trên hai viên bi chia 3 dư 1” là:

$$\left\{\left(4;6\right);\left(6;4\right);\left(6;7\right);\left(7;6\right)\right\}$$

Xác suất của biến cố $$A$$ là $$P(A)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$.

b) Gọi số xe thực tế tham gia chở hàng là $$x$$(xe) $$x\in N\ast$$

Số xe dự định ban đầu là: $$x+1$$ (xe)

Dự kiến ban đầu mỗi xe chở số tấn hàng là: $$\frac{66}{x+1}$$(tấn)

Thực tế mỗi xe chở số tấn hàng là: $$\frac{66}{x}$$ (tấn).

Theo bài ra ta có phương trình: $$\frac{66}{x}-\frac{66}{x+1}=\frac{1}{2}$$ hay $$x^2+x-132=0$$

Giải ra ta có: $$x_1=11$$(thoả mãn); $$x_2=-12$$(loại)

Vậy số xe thực tế tham gia chở hàng là: 11 (xe).

Suy ra 3 điểm $$B,E,C$$ cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (1).

Ta có: $$CF\perp AB$$ nên $$\widehat{BFC}=90^{\circ }.$$

Suy ra 3 điểm $$B,F,C$$ cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $$BCEF$$ nội tiếp.

b) Kẻ đường kính $$AP$$ của đường tròn $$\left(O\right)$$. Khi đó $$PC\perp AC$$ nên $$PC$$//$$BH$$(cùng vuông góc với $$AC$$) và $$PB\perp AB$$ nên $$PB$$//$$CH$$(cùng vuông góc với $$AB$$). Do đó $$BHCP$$ là hình bình hành.

Suy ra trung điểm $$I$$của $$BC$$ cũng là trung điểm của $$PH$$. Vì vậy $$OI$$ là đường trung bình của tam giác $$PAH$$ nên $$OI=\frac{AH}{2}$$ hay $$AH=2OI$$.

Kẻ đường thẳng qua $$H$$, vuông góc với $$IH$$cắt các đường thẳng $$AB,AC$$ lần lượt tại $$X,Y$$.

Vì $$\widehat{PBX}=\widehat{PHX}=90^o$$ nên các điểm $$P,B,X,H$$ nằm trên đường tròn đường kính $$PX$$, suy ra $$\widehat{PXH}=\widehat{PBH}$$. Tương tự $$\widehat{PCY}=\widehat{PHY}=90^o$$ nên các điểm $$P,C,Y,H$$ nằm trên đường tròn đường kính $$PY$$, suy ra $$\widehat{PYH}=\widehat{PCH}$$

Mà $$BHCP$$ là hình bình hành nên $$\widehat{PBH}=\widehat{PCH}$$, suy ra $$\widehat{PXH}=\widehat{PYH}$$ hay tam giác $$PXY$$ cân tại $$P$$, đường cao $$PH$$ nên $$H$$ là trung điểm của $$XY$$.

Vì $$XY$$//$$MN$$ nên ta có $$\frac{XH}{MQ}=\frac{AH}{AQ}=\frac{HY}{QN}$$. Suy ra $$MQ=QN$$ hay $$Q$$ là trung điểm của $$MN$$

a) Gọi cạnh đáy của thùng là $$a\left(dm\right)$$ và chiều cao của thùng là $$h\left(dm\right)$$

Thể tích thùng là: $$a^2.h=120(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3)$$.

Phân xung quanh và mặt đáy của thùng có diện tích $$S=4ah+a^2$$ $$(d{m}^2)$$.

Ta có: $$4ah+a^2=2ah+2ah+a^2\ge 3\sqrt[3]{2ah.2ah.a^2}=3\sqrt[3]{4{\left(a^{2}h\right)}^2}=3\sqrt[3]{{4.120}^2}\approx 115,9(d{m}^2)$$

Đẳng thức xảy ra khi vàchir khi $$2ah=a^2$$ hay $$a=2h$$, mà $$a^2.h=120$$ suy ra $$h^3=30$$ hay $$h\approx 3,1(dm)$$

Và $$a=2h\approx 6,2(dm)$$.

Vậy thùng có cạnh đáy gần bằng $$6,2(dm)$$, chiều cao gần bằng $$3,1(dm)$$.

b) Ta có $$5a^2=4\left(ab+bc+ca\right)+4bc\le 4a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2$$.

Suy ra: $$5a^2-4a\left(b+c\right)-{\left(b+c\right)}^2\le 0$$ hay $$5{\left(\frac{a}{b+c}\right)}^2-4\left(\frac{a}{b+c}\right)-1\le 0$$

Do đó $$-\frac{1}{5}\le \frac{a}{b+c}\le 1$$, suy ra $$a\le b+c$$.

Từ đó $$\sqrt{2\left(a+b+c\right)}\le \sqrt{4\left(b+c\right)}=2\sqrt{b+c}$$ và $$b^2+c^2\ge \frac{1}{2}{\left(b+c\right)}^2$$ nên

$$S\le 2\sqrt{b+c}-\frac{1}{2}{\left(b+c\right)}^2\le \left(b+c+1\right)-\frac{1}{2}{\left(b+c\right)}^2=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{\left[\left(b+c\right)-1\right]}^2\le \frac{3}{2}$$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$a=1;b=c=\frac{1}{2}$$ nên giá trị lớn nhât của $$S$$là $$\frac{3}{2}$$