Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2017 - 2018 Sở GD&ĐT TP.HCM có đáp án

a) Ta có $$x^2=\left(x-1\right)\left(3x-2\right)\iff x^2=3x^2-2x-3x+2$$$$\iff 2x^2-5x+2=0$$.

Tính $$\Delta ={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.2}=25-16=9,\sqrt{\Delta }=3$$.

Phương trình có hai nghiệm $$x_1=\frac{5-3}{2.2}=\frac{1}{2},x_2=\frac{5+3}{2.2}=2$$.

Tập nghiệm của phương trình: $$S=\left\{2;\frac{1}{2}\right\}$$.

Gọi $$x,y$$ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của miếng đất.

Nửa chu vi miếng đất là 100 : 2 = 50 (m).

Khi đó: $$x+y=50$$.

Và $$5y=2x+40\iff 2x-5y=-40$$. Ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x+y=50\\ 2x-5y=-40\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}-2x-2y=-100\\ 2x-5y=-40\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y=50\\ -7y=-140\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}x=50-y\\ y=20\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=30\\ y=20\end{array}$$.

Vậy chiều dài của miếng đất là 30 (m) và chiều rộng là 20 (m).

a) Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^2$.

Tập xác định $$D=\mathbb{R}$$.

Bảng giá trị

 

Đồ thị

b) Đường thẳng $$\left(D\right)$$: $y=\frac{3}{2}x+m$ đi qua điểm $$C\left(6;7\right)$$nên ta có:

$$7=\frac{3}{2}.6+m\iff m=-2$$.

Vậy đường thẳng $$\left(D\right)$$ có phương trình $$y=\frac{3}{2}x-2$$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $$\left(D\right)$$ và $$\left(P\right)$$ là $$\frac{1}{4}{x}^2=\frac{3}{2}x-2$$

$$\iff \frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+2=0\iff x^2-6x+8=0$$

Ta có: $${\Delta }^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.8=1>0$$. Phương trình có hai nghiệm $$x_1=3+1=4,x_2=3-1=2$$

Khi đó, $$y_1=\frac{3}{2}{x}_1-2=\frac{3}{2}.4-2=4,y_2=\frac{3}{2}{x}_2-2=\frac{3}{2}.2-2=1$$.

Vậy tọa độ các giao điểm của $$\left(D\right)$$ và $$\left(P\right)$$ là $$A\left(4;4\right),B\left(2;1\right)$$.

Ta có:

$A=\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{\frac{14-6\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}}$ $$=\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{\frac{\left(14-6\sqrt{3}\right)\left(5-\sqrt{3}\right)}{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5-\sqrt{3}\right)}}$$

$$=\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{\frac{88-44\sqrt{3}}{22}}=\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$

$$=\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)=3-1=2$$.

a) Xét tam giác $$ABC$$ có đường cao $$CH$$, ta có:

$$AH=\frac{CH}{\tan 6^{\circ }};BH=\frac{CH}{\tan 4^{\circ }}$$

Mà $$AH+BH=AB=762\Rightarrow \frac{CH}{\tan 6^{\circ }}+\frac{CH}{\tan 4^{\circ }}=762$$

Suy ra $$CH=762:\left(\frac{1}{\tan 6^{\circ }}+\frac{1}{\tan 4^{\circ }}\right)\approx 32$$.

Vậy $$h=32$$ m.

b) Xét tam giác $$ABC$$ có đường cao $$CH$$, ta có:

$$\sin 6^{\circ }=\frac{CH}{AC}\Rightarrow AC=\frac{CH}{\sin 6^{\circ }}\approx \frac{32}{\sin 6^{\circ }}\approx 306$$;

$$\sin 4^{\circ }=\frac{CH}{BC}\Rightarrow BC=\frac{CH}{\sin 4^{\circ }}\approx \frac{32}{\sin 4^{\circ }}\approx 459$$.

Thời gian di chuyển từ $$A$$ đến $$B$$:

- Thời gian đi từ $$A$$ đến $$C$$: $$t_{AC}=\frac{AC}{4}\approx \frac{\frac{306}{1000}}{4}=0,0765$$ (giờ)

- Thời gian di chuyển từ $$C$$ đến $$B$$: $$t_{CB}=\frac{CB}{19}\approx \frac{\frac{459}{1000}}{19}\approx 0,024$$(giờ)

- Thời gian di chuyển từ $$A$$ đến $$B$$: $$t_{AB}=0,0765+0,024=0,1005$$(giờ) $$\approx 6$$ (phút).  

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ 6 phút.

a) Ta có: $$\widehat{ADB}=90^{\circ }$$ (góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn) $$\Rightarrow \widehat{ADC}=90^{\circ }$$

$$\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{AHC}$$$$\Rightarrow ACDH$$ nội tiếp.

$$\Rightarrow \widehat{CHD}=\widehat{CAD}$$

Mà $$\widehat{CAD}=\widehat{ABC}$$ nên $$\widehat{CHD}=\widehat{ABC}$$.

b) Ta có: $$OH.OC=O{A}^2=O{B}^2\Rightarrow \frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}$$

.

$$\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OBC}\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{CHD}$$

$$\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{DHM}$$ hay $$HM$$ là tia phân giác của góc $$BHD$$.

c) Tam giác $$DHB$$ có $$HM$$ là phân giác trong $$\Rightarrow \frac{MD}{MB}=\frac{HD}{HB}$$

Tam giác $$DHB$$ có $$HC$$ là phân giác ngoài $$\Rightarrow \frac{CD}{CB}=\frac{HD}{HB}$$

Vậy $$\frac{MD}{MB}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow MD.BC=MB.CD$$.

Cách 1. Từ trên suy ra $$MD.\left(MB+MC\right)=MB.\left(MC-MD\right)$$

$$\Rightarrow 2MB.MD=MC\left(MB-MD\right)$$

$$\Rightarrow 2MB.MD=2MK.MC$$

$$\Rightarrow MB.MD=MK.MC$$

Cách 2. Gọi $$L$$ là giao điểm của $$AE$$ với đường tròn $$\left(O\right)$$.

5 điểm $$A,O,K,L,C$$ cùng thuộc đường tròn.

$$\Rightarrow MK.MC=MA.ML$$

Mà $$MA.ML=MB.MD$$$$\Rightarrow MB.MD=MK.MC$$.

d) Gọi $$N$$ là giao điểm của $$CO$$với đường tròn $$\left(O\right)$$.

$$\Rightarrow \widehat{IJN}=90^{\circ }\left(1\right)$$

Mặt khác: $$MI.MJ=MD.MB=MK.MC$$

$$\Rightarrow \widehat{MCI}=\widehat{MJK}=\widehat{MEO}$$

$$\Rightarrow MEJK$$ nội tiếp.

$$\Rightarrow \widehat{EJM}=90^{\circ }\left(2\right)$$

Từ (1) và (2) $$\Rightarrow E,J,N$$ thẳng hàng.

Suy ra hai đường thẳng $$OC$$ và $$EJ$$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $$\left(O\right)$$.