Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2021 - 2022 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

Cho hai biểu thức $$A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$$ và $$B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}$$ với $$x\ge 0,x\ne 9.$$

1) Tính giá trị của biểu thức $$A$$ khi $$x=16.$$

2) Chứng minh $$A+B=\frac{3}{\sqrt{x}+3}.$$

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm xong $$4800$$ bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó làm được nhiều hơn $$100$$ bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế $$8$$ ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong $$4800$$ bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)

Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao $$1,6m$$ và bán kính đáy $$0,5m.$$ Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy $$\pi \approx 3,14$$).

Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}\frac{3}{x+1}-2y=-1\\ \frac{5}{x+1}+3y=11\end{array}$$

Trong mặt phẳng tọa độ $$Oxy$$, cho parabol $$(P):y=x^2$$ và đường thẳng $$(d):y=2x+m-2$$. Tìm tất cả giá trị của $$m$$ để $$(d)$$ cắt $$(P)$$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $$x_1,x_2$$ sao cho $$\left|x_1-x_2\right|=2$$.

Cho tam giác $$ABC$$ vuông tại $$A$$. Vẽ đường tròn tâm $$C$$, bán kính $$CA$$. Từ điểm $$B$$ kẻ tiếp tuyến $$BM$$ với đường tròn $$(C;CA)$$ ($$M$$ là tiếp điểm, $$M$$ và $$A$$ nằm khác phía đối với đường thẳng $$BC$$).

1) Chứng minh bốn điểm $$A,C,M$$ và $B$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm $$N$$ thuộc đoạn thẳng $$AB$$ ($$N$$ khác $$A$$, $$N$$ khác $$B$$). Lấy điểm $$P$$ thuộc tia đối của tia $$MB$$ sao cho $$MP=AN$$. Chứng minh tam giác $$CPN$$ là tam giác cân và đường thẳng $$AM$$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $$NP$$.

Với các số thực $$a$$ và $$b$$ thỏa mãn $$a^2+b^2=2$$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=3(a+b)+ab$$.