Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2023 - 2024 Sở GD&ĐT Đà Nẵng có đáp án

Ta có $A=\sqrt{4}+\sqrt{20}-\sqrt{5}-2$

      $=\sqrt{2^2}+\sqrt{2^2.5}-\sqrt{5}-2$

      $=2+2\sqrt{5}-\sqrt{5}-2$

      $$=\left(2-2\right)+\left(2\sqrt{5}-\sqrt{5}\right)$$

      $$=\sqrt{5}$$

Vậy $$A=\sqrt{5}$$.

Với $x>0$ và $x\ne 1$, ta có:

$$B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}$$

     $$=\left[\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]:\frac{\sqrt{x}-1}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}$$

     $$=\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right].\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{\sqrt{x}-1}$$

     $$=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{\sqrt{x}-1}$$

    $$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$.

Ta có $$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=1+\frac{1}{\sqrt{x}}>1;\forall x\ne 1$$.

Vậy với $x>0$ và $x\ne 1$ thì $$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>1$$.

a) • Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$

Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ là parabol có bề lõm hướng lên phía trên.

Bảng giá trị:

Vậy parabol $y=\frac{1}{2}{x}^2$ đi qua các điểm $O\left(0;0\right),A\left(-2;2\right),B\left(-1;\frac{1}{2}\right),C\left(-1;\frac{1}{2}\right),$$D\left(-2;2\right)$.

Ta vẽ được đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ như sau:

 

b) • Cho $y=0\Rightarrow -x+b=0\iff x=b$

Suy ra đường thẳng $y=-x+b$ cắt $Ox$ tại $E(b;0)$.

• Cho $x=0\Rightarrow y=0+b=b$

Suy ra đường thẳng $y=-x+b$ cắt $Oy$ tại $F(0;b)$.

 

Xét $\Delta OEF$ có:

• $OE\perp OF$ (do $Ox\perp Oy$)

• $OE=OF=b$ (do $b>0$)

Do đó $\Delta OEF$ vuông cân tại $O$.

Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OEF$ là trung điểm của cạnh huyền $EF$.

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OEF$ là $H$.

Ta có $HM\perp Ox;OF\perp Ox$ suy ra $HM//OF$ (từ vuông góc đến song song).

Mà $H$ là trung điểm của $EF$ nên $M$ là trung điểm của $OE$ (theo tính chất đường trung bình của tam giác).

Do đó $HM$ là đường trung bình của tam giác $OEF$ suy ra $HM=\frac{1}{2}OF=\frac{b}{2}$.

Chứng minh tương tự, ta tính được $HN=\frac{b}{2}$.

Do đó $H\left(\frac{b}{2};\frac{b}{2}\right)$.

Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OEF$ là một điểm thuộc $(P)$ khi và chỉ khi $H\left(\frac{b}{2};\frac{b}{2}\right)\in (P)$.

Khi đó $\frac{b}{2}=\frac{1}{2}.{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$

$\iff \frac{b}{2}=\frac{b^2}{8}$

$\iff b^2-4b=0$

$\iff b\left(b-4\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}b=0\\ b-4=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}b=0(\mathrm{KTM})\\ b=4(\mathrm{TM})\end{array}$

Vậy $b=4$ là giá trị cần tìm.

Gọi số thứ nhất là $a$, số thứ hai là $b$ ($0<a,b<23$).

Theo đề bài:

• Tổng của hai số bằng $23$, ta có phương trình: $a+b=23$;

• Hai lần số này hơn số kia $1$ đơn vị, ta có phương trình: $2a-b=1$.

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}a+b=23\\ 2a-b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=23\\ 3a=24\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a+b=23\\ a=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=8(TM)\\ b=15(TM)\end{array}$.

Vậy số thứ nhất là $8$, số thứ hai là $15$.

Đổi 1 giờ 12 phút = $\frac{6}{5}$ giờ; 40 phút = $\frac{2}{3}$ giờ.

Gọi thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là $x$ (giờ) $\left(x>\frac{6}{5}\right)$;

       thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là $y$ (giờ) $\left(y>\frac{6}{5}\right)$

Trong $1$ giờ, đội A làm được $\frac{1}{x}$ công việc; đội B làm được $\frac{1}{y}$ công việc

Suy ra trong $1$ giờ hai đội làm được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút = $\frac{6}{5}$ giờ xong công việc nên ta có phương trình:

$\frac{6}{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}$        (1)

Theo đề bài, nếu đội A làm 40 phút = $\frac{2}{3}$ giờ và đội B làm $2$ giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: $$\frac{2}{3x}+\frac{2}{y}=1$$    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\ \frac{2}{3x}+\frac{2}{y}=1\end{array}$.

Đặt $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=u\\ \frac{1}{y}=v\end{array}$, hệ phương trình trở thành:

$$\{\begin{array}{l}u+v=\frac{5}{6}\\ \frac{2}{3}u+2v=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}v=\frac{5}{6}-u\\ \frac{2}{3}u+2v=1\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}v=\frac{5}{6}-u\\ \frac{2}{3}u+2\left(\frac{5}{6}-u\right)=1\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}v=\frac{5}{6}-u\\ \frac{2}{3}u+\frac{5}{3}-2u=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}v=\frac{5}{6}-u\\ \frac{4}{3}u=\frac{2}{3}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}v=\frac{5}{6}-u\\ u=\frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}\\ v=\frac{1}{3}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}(\mathrm{TM})$$

Vậy thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.

a) Thay $m=1$ vào phương trình (*) ta được:

$x^2-2\left(1+1\right)x-1^2-2.1+5=0$

$\iff x^2-4x+4=0$

$\iff {\left(x-2\right)}^2=0$

$\iff x-2=0\iff x=2$.

Vậy khi $m=1$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

b) Ta có $${\Delta }^{\prime }={\left(m+1\right)}^2-\left(m^2-2m+5\right)$$

           $$=m^2+2m+1-m^2+2m-5$$

           $$=4m-4$$.

Để phương trình $\left(\ast \right)$ có hai nghiệm phân biệt x$x_1,x_2$ thì xxx$${\Delta }^{\prime }>0\iff 4m-4>0\iff m>1$$.

Ta có x$\sqrt{4x_1^2+4m{x}_1+m^2}+\sqrt{x_2^2+4m{x}_2+4m^2}=7m+2$

xxx$\iff \sqrt{{\left(2x_1+m\right)}^2}+\sqrt{{\left(x_2+2m\right)}^2}=7m+2$

xxx$\iff \left|2x_1+m\right|+\left|x_2+2m\right|=7m+2$

Áp dụng định lí Vi-et, ta có :

xxxxxx$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)=2m+2>0(\mathrm{do}m>1)\\ x_1{x}_2=m^2-2m+5={\left(m-1\right)}^2+4>0\forall m\end{array}$$

xxxxx$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1>0\\ x_2>0\end{array}\forall m>1$$

xxx$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x_1+m>0\\ x_2+2m>0\end{array}\forall m$$.

Khi đó, ta có:

xxxx$\left|2x_1+m\right|+\left|x_2+2m\right|=7m+2$

xxxx$\iff 2x_1+m+x_2+2m=7m+2$

xxxx$\iff 2x_1+x_2+3m=7m+2$

xxxx$\iff 2x_1+x_2=4m+2$

xx$\iff 2m+2+x_1=4m+2$

xxxx$\iff x_1=2m$

xxxxx$$\Rightarrow x_2=2m+2-x_1=2$$

xxxx$$\Rightarrow x_1{x}_2=4m=m^2-2m+5$$

xxxx$$\iff m^2-6m+5=0$$  xxxxx$\left(\ast \ast \right)$

Ta có xxxx$a+b+c=1+(-6)+5=0$ nên phương trình xx$\left(\ast \ast \right)$ có hai nghiệm phân biệt xxxx$[\begin{array}{l}{m}_1=1(\mathrm{KTM})\\ m_2=5(\mathrm{TM})\end{array}$.

Vậy để xxx$m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì xxxx$m=5$.

 

B,D). Trên đoạn thẳng BC lấy điểm E ,E khác B đường thẳng (ED) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là (F). (ảnh 1)">