Đề thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán năm học 2025-2026 THCS ARCHIMEDES (Hà Nội) có đáp án

$A=\frac{3}{1\times 2}-\frac{5}{2\times 3}+\frac{7}{3\times 4}-\frac{9}{4\times 5}+\frac{11}{5\times 6}-\frac{13}{6\times 7}+\frac{15}{7\times 8}-\frac{17}{8\times 9}+\frac{19}{9\times 10}$

$A=\frac{1+2}{1\times 2}-\frac{2+3}{2\times 3}+\frac{3+4}{3\times 4}-\frac{4+5}{4\times 5}+\frac{5+6}{5\times 6}-\frac{6+7}{6\times 7}+\frac{7+8}{7\times 8}-\frac{8+9}{8\times 9}+\frac{9+10}{9\times 10}$

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right)$

$A=1+\frac{1}{10}$

$A=\frac{11}{10}$

T =1 × 3 × 5 × ... × 2025 = $\overline{...5}$ (Vì số lẻ nhân với số co tận cùng là 5 thì tích có chữ số tận cùng là 5)

H = 2 × 2 × 2 × 2 ... × 2 (Có 2025 thừa số 2)

Ta có 2 × 2 × 2 × 2 = 16, nhóm 4 thừa số 2 thì ta có số nhóm là 2025 : 4 = 506 (dư 1).

H = (2 × 2 × 2 × 2) × … × (2 × 2 × 2 × 2)

H = 16 × ... × 16 × 2

H = $\overline{...6}$ × 2

H = $\overline{...2}$

T + H = $\overline{...5}+\overline{...2}=\overline{...7}$

Vậy chữ số tận cùng của T + H là chữ số 7.

$$8\times \overline{ARCARC}=\overline{FUNFUN}$$

$$8\times \overline{ARC}\times 1001=\overline{FUN}\times 1001$$

$$8\times \overline{ARC}=\overline{FUN}$$

Vì $$\overline{FUN}<1000$$ nên hay $8\times \overline{ARC}<125x8$

Suy ra $\overline{ARC}<125$

Vậy $\overline{ARC}$lớn nhất có thể bằng 124.

Nếu $\overline{ARC}$ = 124 suy ra 124 × 8 = 992 (Loại vì không thỏa mãn các chữ số A, R, C,… khác nhau)$$8\times \overline{ARC}<1000$$

Nếu $$\overline{ARC}$$ = 123 suy ra 123 × 8 = 984 (Thỏa mãn)

Suy ra A + R + C + F + U + N = 1 + 2 + 3 + 9 + 8 + 4 = 27.

Vậy tổng A + R + C + F + U + N lớn nhất là 27.

- Nếu chữ số đầu tiên là 1 hoặc 3 thì chữ số hàng thứ 2 tiếp theo có 1 cách chọn là 2.

Với mỗi cách chọn chữ số hàng thứ 2 có 2 cách chọn chữ số hàng thứ 3 là 1 hoặc 3. Suy ra các chữ số thuộc các hàng 2, 4, 6, 8, 10 là 2. Các hàng 3, 5, 7, 9 có 2 cách chọn là 1 hoặc 3.

Vậy có: 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (số)

- Nếu chữ số đầu tiên là 2:

Thì chữ số hàng thứ 2 có 2 cách chọn là 1 hoặc 3

với mỗi cách chọn chữ số hàng thứ 2 có 1 cách chọn chữ số hàng thứ 3 là 2.

Suy ra các chữ số thuộc hàng 2, 4, 6, 8, 10 có 2 cách chọn là 1 hoặc 3, các chữ số thuộc

hàng 1, 3, 5, 7, 9 phải là chữ số 2.

Vậy có: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (số)

Vậy có: 32 + 32 = 64 số thỏa mãn.

$S+99=\left(\frac{2+3+4+...+100}{1}+1\right)+\left(\frac{3+4+...+100}{1+2}+1\right)+..+\left(\frac{100}{1+2+...+99}+1\right)$

$S+99=\frac{1+2+3+...+100}{1}+\frac{1+2+3+...+100}{1+2}+..+\frac{1+2+3+...+100}{1+2+3+...+99}$

$=\left(1+2+...+100\right)\times \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99\times 100:2}\right)$

$\left(S+99\right)\times \frac{1}{2}=\left(100\times 101:2\right)\times \left(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{99\times 100}\right)$

$=5050\times \left(1-\frac{1}{100}\right)$

$=5050\times \frac{99}{100}=\frac{9999}{2}$

$S=\frac{9999}{2}\times 2-99=9900$

Ta thấy khi ghép nhóm 3 số để tính tổng thì chính là bỏ đi 2 số.

Số cách bỏ đi 2 số là: 5 × 4 : 2 = 10 cách, tức là chúng ta có 10 nhóm 3 số.

Khi nhóm 3 số ta thấy mỗi số sẽ xuất hiện trong 6 nhóm.

(Giải thích: Giả sử 5 số là A, B, C, D, E thì A xuất hiện ở (A, B, C), (A, B, D), (A, B, E), (A, C, D), (A, C, E), (A, D, E) → 6 nhóm)

(Hoặc: có 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số → có 10 × 3 = 30 lượt xuất hiện → mỗi số xuất hiện 30 : 5 = 6 lần)

Ta thấy khi tính tổng 3 số ở mỗi nhóm, ta được 10 tổng → mỗi số xuất hiện 6 lần nên khi tính tổng 10 tổng này ta được 1 số chẵn (vì mỗi số xuất hiện 6 lần)

Mà nếu 10 tổng này thành 10 số liên tiếp thì tổng 10 số sẽ có tận cùng là chữ số tận cùng của 0 + 1 + 2 + … + 9 = …5, vô lý.

Vậy không tồn tại 5 số thỏa mãn đề bài.