Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 5)

Với $x>0,x\ne 1,$ ta có:

$A=\sqrt{x}\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}\left[\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}=\sqrt{x}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\cdot \frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1$

Ta có (d) song song với (d') ta có a = 5 và

Lại có (d) di qua A(1;3) nên $3=1\cdot a+b\Rightarrow 3-1\cdot 5+b\iff b=-2$.

Vậy a = 5 và b = -2

Gọi x (người) là số công nhân lúc đầu của đội $\left(x>4,x\in \mathbb{N}\right).$

Số công nhân làm việc thực tế là x - 4 (người).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là $\frac{96}{x}$ (cây).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo thực tế là $\frac{96}{x-4}$ (cây).

Do mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây nên ta có phương trình:

$\frac{96}{x-4}-\frac{96}{x}=4\iff \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\iff \frac{x-\left(x-4\right)}{x\left(x-4\right)}=\frac{1}{24}\iff \frac{4}{x^2-4x}=\frac{1}{24}\Rightarrow x^2-4x-96=0\iff \left(x+8\right)\left(x-12\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=-8\\ x=12\end{array}\right).$

Đối chiều điều kiện và thử lại ta thấy x = 12 thỏa mãn.

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là 12 người.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

$x^2-3x+m\iff x^2-3x-m=0\text{ (}*)$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt

$\iff \text{Δ}>0\iff 9+4m>0\iff m>\frac{-9}{4}$

Theo hệ thức Vi-et: $\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2-3\left(1\right)\\ x_1{x}_2=-m\left(2\right)\end{array}\right)$

Theo đề $x_1+2x_1=m+3\left(3\right)$

Từ (1), (3) suy ra $x_2=m+3\iff x_2=m\Rightarrow x_1-3-m.$

Thay vào (2) ta có $m\left(3-k\right)=-m\iff m\left(4-m\right)=0$

$\iff \left(\begin{array}{c}m=0\\ 4-m=0\end{array}\iff \left(\begin{array}{c}m=0\\ m=4\end{array}\right)\right).$

Vậy m = 0 hoặc m = 4

a) Vì BD, CE là đường cao nên $\widehat{BDA}=\widehat{CEA}=90°.$

Tứ giác ADHE có

$\widehat{HDA}+\widehat{HEA}=90°+90°=180°$

Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra $\widehat{DAH}=\widehat{DEH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE

Xét ba số $a-1;b-1;c-1$ luôn có hai số cùng dấu.

Giả sử a - 1; b - 1 là hai số cùng dấu, suy ra $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge 0$

$\Rightarrow c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge 0\iff abc-ac-bc+c\ge 0\iff 2abc+2c\ge 2ac+2bc \left(1\right)$

Lại có ${\left(c-1\right)}^2\ge 0$ nên $c^2-2c+1\ge 0 \left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $2abc+c^2+1\ge 2ac+2bc$

Do đó $a^2+b^2+2abc+c^2+1\ge 2(ab+ac+bc)$ (đpcm).