Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 8)

$x^2+8x+15=0\iff x^2+3x+5x+15=0\iff \left(x^2+3x\right)+\left(5x+15\right)=0\iff x\left(x+3\right)+5\left(x+3\right)=0\iff \left(x+3\right)\left(x+5\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x+3=0\\ x+5=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=-3\\ x=-5\end{array}\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left(-3;-5\right).$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;1)

Hàm số xác định với mọi $x\in ℝ$.

Bảng giá trị:

Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=-2x^2$ là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ O(0;0) nhận trục Oy làm trục đối xứng, nằm phía dưới trục hoành, điểm O là điểm cao nhất của đồ thị.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=-2x^2$ và đường thẳng $y=x-m$ là $-2x^2=x-m\iff 2x^2+x-m=0$

Ta có $\Delta =1^2-4.2.\left(-m\right)=1+8m.$

Để đồ thị hàm số $y=-2x^2$ và đường thẳng $y=x-m$ có điểm chung thì $\Delta \ge 0\Rightarrow 1+8m\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{8}\cdot$

Gọi x (phút) là thời gian chỉ riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nước.

       y (phút) là thời gian chỉ riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nước. (x; y > 0)

Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$(bể nước).

Mỗi phút vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể nước).

Vì cả hai vòi cùng chảy sau 40 phút thì đầy bể nên mỗi phút cả hai vòi cùng chảy được $\frac{1}{40}$(bể nước).

Từ đó ta có phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{40}\left(1\right)$

Khi mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì lúc này lượng nước trong bể chiếm $\frac{5}{12}$ thể tích của bể nước nên ta có phương trình

 $15\cdot \frac{1}{x}+20\cdot \frac{1}{y}=\frac{5}{12}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{40}\\ 15\cdot \frac{1}{x}+20\cdot \frac{1}{y}=\frac{5}{12}\end{array}\right)$

 $\iff \left(\begin{array}{c}\frac{1}{x}=\frac{1}{60}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{120}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=60\\ y=120\end{array}\right)$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là 60 phút, thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là 120 phút.

Độ dài đường cao của hình nón là: $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$

1) Xét tứ giác AMNC có

$\widehat{CAM}=\widehat{CAB}=90°$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A,M\in AB$).

$\widehat{CNM}=90°$ ($MN\perp BC$).

Suy ra $\widehat{CAM}+\widehat{CNM}=90°+90°=180°$.

2)

Xét ANBK có

$\widehat{KAB}=90°$ (kề bù với góc vuông CAB).

$\widehat{KNB}=\widehat{MNB}=90°$ (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra $\widehat{KAB}=\widehat{KNB}=90°.$

Do đó tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng 90^o )

Suy ra $\widehat{ABK}=\widehat{ANK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)                 (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên $\widehat{ANM}=\widehat{ACM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay $\widehat{ANK}=\widehat{ACM}$ (K thuộc đường thẳng MN)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABK}=\widehat{ACM}.$

3)

Xét $\Delta BCK$ có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và K

Suy ra M là trực tâm của $\Delta BCK.$

Do đó $CM\perp BK$      (1)

Xét đường tròn đường kính BM có $\widehat{MDB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $MD\perp BK$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó $CD\perp BK.$

Diện tích $\Delta BIC$ là $S_{BIC}=\frac{1}{2}.r.BC$.

Diện tích $\Delta BIK$ là $S_{BIK}=\frac{1}{2}.r.BK$.

Diện tích $\Delta CIK$ là $S_{CIK}=\frac{1}{2}.r.CK$.

Diện tích $\Delta BCK$ là $S_{BCK}=\frac{1}{2}KN.BC=\frac{1}{2}BK.CD=\frac{1}{2}CK.AB$.

Suy ra $\frac{1}{2}BC=\frac{S_{BCK}}{KN};\frac{1}{2}BK=\frac{S_{BCK}}{CD};\frac{1}{2}CK=\frac{S_{BCK}}{AB}$.

Mà $S_{BCK}=S_{BIC}+S_{BIK}+S_{CIK}$

Hay $S_{BCK}=r\cdot \frac{S_{BCK}}{KN}+r\cdot \frac{S_{BCK}}{CD}+r\cdot \frac{S_{BCK}}{AB}$

Do đó $S_{BCK}=r.S_{BCK}\left(\frac{1}{KN}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}\right)$

Vậy $\frac{1}{r}=\frac{1}{KN}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}\cdot$