Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 12

Ta có:

$VT=\sqrt{24+16\sqrt{2}}-\sqrt{24-16\sqrt{2}}$

$=\sqrt{16+\mathrm{2.4.2}\sqrt{2}+8}-\sqrt{16-\mathrm{2.4.2}\sqrt{2}+8}$

$=\sqrt{{\left(4+2\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(4-2\sqrt{2}\right)}^2}$

$=4+2\sqrt{2}-\left(4-2\sqrt{2}\right)$

$=4+2\sqrt{2}-\left(4-2\sqrt{2}\right)(do4-2\sqrt{2}>0)$

$=4+2\sqrt{2}-4+2\sqrt{2}$

$=4\sqrt{2}=VP\left(dfcm\right)$

c) Điều kiện: $2x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$

Khi đó , bất phương trình đề $\iff 2x+1\le 25$

$\iff 2x\le 24\iff x\le 12$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $-\frac{1}{2}\le x\le 12$

a, Ta có: $x^2-4x+4={\left(x-2\right)}^2$

Điều kiện: ${\left(x-2\right)}^2\ge 0$ luôn đúng với mọi $x\in ℝ$

$\begin{array}{c}\sqrt{x^2-4x+4}+x=8\iff \sqrt{{\left(x-2\right)}^2}+x=8(*)\\ \iff \left(x-2\right)+x=8\end{array}$

Nếu $x-2\ge 0$thì $x\ge 2\Rightarrow \left(x-2\right)=x-2$

Khi đó phương trình (*) trở thành: $x-2+x=8\iff x=5\left(tm\right)$

Nếu $x-2<0\iff x<2\Rightarrow \left(x-2\right)=-x+2$

Khi đó, phương trình (*) trở thành $-x-2+x=8\iff -2=8$(vô lý)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left(5\right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(-1;5\right)$

Thay $m=-\frac{3}{2}$vào phương trình đã cho ta được:

$\begin{array}{c}{x}^2-2.\left(\frac{-3}{2}+2\right)x-\frac{3}{2}+1=0\\ \iff x^2-2.\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0\\ \iff x^2-x-\frac{1}{2}=0(*)\\ \Delta =1^2-\mathrm{4.1.}\left(-\frac{1}{2}\right)=3>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{3}\end{array}$

 

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2};x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

Phương trình $x^2-2\left(m+2\right)x+m+1=0$ (x là ẩn)

$\begin{array}{c}\Delta \text{'}={\left(m+2\right)}^2-1\left(m+1\right)\\ =m^2+4m+4-m-1\\ =m^2+3m+3\\ =\left(m^2+2.m.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{4}\end{array}$

$\Delta \text{'}={\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi m 

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình $x^2-2\left(m+2\right)x+m+1=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Viet ta có: $\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right)$

Theo đề, ta có: $x_1^2+x_2^2=8\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=8$

$\begin{array}{c}\Rightarrow {\left(2m+4\right)}^2-2\left(m+1\right)=8\\ \iff 4m^2+16m+16-2m-2=8\\ \iff 4m^2+14m+6=0\\ \iff 2m^2+7m+3=0\\ \iff \left(2m^2+6m\right)+\left(m+3\right)=0\\ \iff 2m\left(m+3\right)+\left(m+3\right)=0\\ \iff \left(2m+1\right)\left(m+3\right)=0\\ \iff \left(\begin{array}{c}2m+1=0\\ m+3=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m=-\frac{1}{2}\\ m=-3\end{array}\right)\end{array}$

 

Vậy $m=-\mathrm{3,}m=-\frac{1}{2}$thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi thời gian làm riêng công việc của đội thứ nhất là x (giờ) $x>0$

Thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ hai là x +6 (giờ)

Trong 1 giờ, đội thứ nhất làm được : $\frac{1}{x}$(công việc)

Trong 1 giờ, đội thứ hai làm được: $\frac{1}{x+6}$(công việc)

Hai đội cùng làm một công việc thì xong trong 4 giờ nên ta có:

$\begin{array}{c}4.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}\right)=1\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\\ \iff \frac{4.\left(x+6\right)}{4x\left(x+6\right)}+\frac{4x}{4x\left(x+6\right)}=\frac{x\left(x+6\right)}{4x\left(x+6\right)}\\ \Rightarrow 4.\left(x+6\right)+4x=x\left(x+6\right)\iff 4x+24+4x=x^2+6x\\ \iff x^2+6x-4x-24-4x=0\iff x^2-2x-24=0\\ \iff x^2-6x+4x-24=0\iff x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)=0\\ \iff \left(x+4\right)\left(x-6\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=-4\left(ktm\right)\\ x=6\left(tm\right)\end{array}\right)\end{array}$

Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 6 giờ, đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 12 giờ.

Ta có: $\widehat{AHC}={90}^0$(vì $AH\perp BC)$ và $\widehat{AEC}={90}^0$(vì $AE\perp EC)$

Xét tứ giác AHCE có E, H là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AC dưới một góc $\alpha ={90}^0$$\left(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}={90}^0\right)$

Suy ra tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp . Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE là trung điểm của cạnh AC.

Vì tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{ACH}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH) (1)

Theo câu a, tứ giác AHEC  nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Theo đề bài: $\widehat{BAC}={90}^0$(Vì $\Delta ABC$vuông tại A)

$\Rightarrow AB$là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, đường kính AC.

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AH}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ACH}=\widehat{BAH} \left(3\right)$

Vì tứ giác AHEC  là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{EAH}=\widehat{ECH}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{EH}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH ) (4)

Xét $\Delta ABD$có AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến nên $\Delta ABD$ cân tại A$\Rightarrow AH$ là phân giác của $\widehat{BAD}\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{EAH}\left(5\right)$

Từ (3), (4), (5) suy ra $\widehat{ACH}=\widehat{ECH}$

Vậy CH là tia phân giác của $\widehat{ACE}$

Gọi diện tích hình quạt tròn AOH là $S_q=\frac{\pi R^2.\widehat{AOH}}{{360}^0}$

Diện tích cần tính là: $S_q+S_{OHC}$

Theo đề bài , $AC=6cm,$O là trung điểm của AC

$\Rightarrow OA=OC=R=3cm$

Ta lại có: $OH=OC=R=3cm\Rightarrow \Delta OHC$cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OHC}=\widehat{OCH}={30}^0$(vì $\widehat{ACB}={30}^0)$

$\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{OHC}+\widehat{OCH}={30}^0+{30}^0={60}^0$(góc ngoài của tam giác)

$S_q=\frac{\pi {.3}^2{.60}^0}{{360}^0}=\frac{\pi {.3}^2}{6}=\frac{3}{2}\pi \left(c{m}^2\right)$

Gọi M là trung điểm của HC 

$\Rightarrow OM\perp HC$(tính chất đường kính dây cung)

$S_{OHC}=\frac{1}{2}OM.HC$

Xét $\Delta AHC$vuông tại H có:
$\cos \widehat{ACH}=\frac{HC}{AC}\Rightarrow HC=AC.\cos \widehat{ACH}=AC.\cos {30}^0=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)$

Vì M là trung điểm của $HC\Rightarrow HM=\frac{HC}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét $\Delta OMH$ vuông tại M, theo định lý Pytago ta có: $O{H}^2=O{M}^2+M{H}^2$

$\begin{array}{c}\Rightarrow O{M}^2=O{H}^2-M{H}^2=3^2-{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2\\ O{M}^2=9-\frac{27}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow OM=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\left(cm\right)\end{array}$

$S_{OHC}=\frac{1}{2}.OM.HC=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\left(c{m}^2\right)$

Diện tích cần tính là : $S_q+S_{OHC}=\frac{3}{2}\pi +\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}+6\pi }{4}\left(c{m}^2\right)$