Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 13

b, Thay $x=\mathrm{2,}y=-8$vào công thức $y=a{x}^2$$\left(a\ne 0\right)$ta được:

$-8=2^2.a\iff 4a=-8\iff a=-2\left(tm\right)$

Vậy $a=-2$

c, $3x^2-5x+2=0$, phương trình có dạng $a+b+c=3-5+2=0$  nên có hai nghiệm phân biệt$\left(\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=\frac{2}{3}\end{array}\right)$

Vậy $S=\left(1;\frac{2}{3}\right)$

Điều kiện $x\ne \mathrm{0,}y\ne 0$ , Đặt $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}=a\\ \frac{1}{y}=b\end{array}\left(a,b\ne 0\right).$Khi đó ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}3a-b=9\\ 5a+b=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}8a=16\\ b=3a-9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=2\\ b=-3\end{array}\left(tm\right)\\ \Rightarrow \{\begin{array}{c}\frac{1}{x}=2\\ \frac{1}{y}=-3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\left(tm\right)\\ y=-\frac{1}{3}\left(tm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right)$

Gọi vận tốc lúc về của thầy Minh là $x(km/h)(x>0)$

$\Rightarrow$Thời gian về của thầy Minh là : $\frac{60}{x}$(giờ)

Do lúc về thầy Minh giảm tốc độ xuống $10km/h$so với lúc đi nên vận tốc lúc đi của thầy Minh là: $x+10(km/h)$ $\Rightarrow$Thời gian lúc đi của thầy Minh: $\frac{60}{x+10}\left(h\right)$

Theo đề bài ta có thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 30 phút $=\frac{1}{2}$giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{c}\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow 120(x+10)-120x=x(x+10)\\ \iff x^2+10x-1200=0\\ \iff x^2+40x-30x-1200=0\\ \iff x\left(x+40\right)-30(x+40)=0\\ \iff \left(x+40\right)\left(x-30\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x+40=0\\ x-30=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=-40\left(ktm\right)\\ x=30\left(tm\right)\end{array}\right)\end{array}$

 

Vậy vận tốc lúc về của thầy Minh là $30km/h$

Áp dụng định lý Pytago cho $\Delta ABC$vuông tại A ta có:

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2={13}^2-5^2=144\Rightarrow AC=12cm$

     Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABC$ vuông tại A và có đường cao AH ta có:

$AH.BC=AB.AC\iff AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}\left(cm\right)$

a, Xét tứ giác PECQ ta có: $\left(\begin{array}{c}\widehat{PQC}={90}^0\left(PQ\perp BC\right)\\ \widehat{PEC}={90}^0\left(PE\perp AC\right)\end{array}\right)\Rightarrow \widehat{PQC}+\widehat{PEC}={90}^0+{90}^0={180}^0$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên PECQ là tứ giác nội tiếp

Ta có tứ giác PECQ nội tiếp (cmt)$\Rightarrow \widehat{PQE}=\widehat{PCE}$(cùng chắn cung PE)

Lại có: $\widehat{PCE}=\widehat{PBC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn PC)

$\Rightarrow \widehat{PQE}=\widehat{PBC}$hay $\widehat{PBC}=\widehat{PQN}\left(=\widehat{PCE}\right)\left(1\right)$

Xét tứ giác PFBQ ta có: $\{\begin{array}{c}\widehat{PQB}={90}^0\left(PQ\perp BC\right)\\ \widehat{PFC}={90}^0\left(PF\perp AB\right)\end{array}\Rightarrow \widehat{PQB}+\widehat{PFC}={90}^0+{90}^0={180}^0$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện$\Rightarrow PFBQ$là tứ giác nôi tiếp

$\Rightarrow \widehat{FBP}=\widehat{FQP}$ (cùng nhìn PF)

Lại có: $\widehat{PBF}=\widehat{BCP}$(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn $\stackrel{⏜}{PB})$

$\Rightarrow \widehat{PQF}=\widehat{PCB}$hay $\widehat{PCB}=\widehat{PQM}\left(=\widehat{PBF}\right)\left(2\right)$

Xét $\Delta PBC$ có: $\widehat{BPC}+\widehat{PBC}+\widehat{PCB}={180}^0$(tổng 3 góc trong tam giác ) (3)

Từ (1) (2) (3)

$\Rightarrow \widehat{BPC}+\widehat{MQP}+\widehat{PQN}=\widehat{MPN}+\widehat{MQP}+\widehat{PQN}=\widehat{MPN}+\widehat{MQN}={180}^0$

$\Rightarrow MPNQ$là tứ giác nôi tiếp $\Rightarrow \widehat{PMN}=\widehat{PQN}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN)

$\Rightarrow \widehat{PMN}=\widehat{PBC}\left(=\widehat{PQN}\right)$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị $\Rightarrow MN//BC$

Lại có $BC\perp PQ\Rightarrow MN\perp PQ\left(dfcm\right)$

Ta có:

$\begin{array}{c}P=\frac{mx-2019}{x^2}=\frac{m}{x}-\frac{2019}{x^2}=-2019.\left(\frac{1}{x^2}-\frac{m}{2019x}\right)\\ =-2019{\left(\frac{1}{x}-\frac{m}{4038}\right)}^2+\frac{m^2}{8076}\le \frac{m^2}{8076}\end{array}$

Mà theo đề $MaxP=2019\iff \frac{m^2}{8076}=2019\iff m=4038$